Exercício 07 Um circuito de três elementos possui uma resistência de 5 ohms em série com uma combinação em paralelo de Le C. para \omega=500 \mathrm{rd} / \mathrm{s} as reatâncias correspondentes são j2 e -j8 ohms. Achar a corrente total se a onda da tensão é v= 50+20 \operatorname{sen} 500 t+10 \operatorname{sen} 1000 t \mathrm{~V}.
Resposta: A ser disponibilizada.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série-paralelo em regime senoidal e pede a corrente total quando
v(t)=50 + 20\sin(500\,t) + 10\sin(1000\,t)\,\text{V}.
Temos um resistor de 5\,\Omega em série com um ramo paralelo de indutor L e capacitor C. Em \omega=500,rad/s as reatâncias são
X_L = j2\,\Omega,\quad X_C = -j8\,\Omega.
Vamos usar análise fasorial e superposição de frequências: trataremos separadamente as contribuições DC, \omega=500 e \omega=1000, calculando impedâncias e correntes parciais.

Passo 2

Determinar L e C a partir de \omega=500,rad/s e das reatâncias dadas.
Para o indutor:
X_L = \omega L = 2 \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{2}{500} = 0{,}004\;\mathrm H.
Para o capacitor:
X_C = \frac{1}{\omega C} = -8 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{8\cdot 500} = 2{,}5\times10^{-4}\;\mathrm F.

Passo 3

Impedância equivalente do paralelo L\parallel C em \omega=500.
Z_L = j2,\quad Z_C = -j8,
Z_{p500} = \frac{Z_L\,Z_C}{Z_L + Z_C} = \frac{(j2)(-j8)}{j2 - j8} = \frac{-j^2\,16}{j(2-8)} = \frac{16}{-j6}\;(-j6\;=\;-6j) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\,\Omega.
Logo o total em série é
Z_{500} = 5 + \frac{8}{3} = \frac{23}{3}\,\Omega,
que é real, indicando corrente em fase com a tensão de 20\sin(500t).

Passo 4

Corrente senoidal em \omega=500. A amplitude da fonte é 20,V e a impedância é \tfrac{23}{3}\,\Omega, então
I_{500} = \frac{20}{\tfrac{23}{3}} = \frac{20\cdot3}{23} = \frac{60}{23}\;\text{A},
e fica
i_{500}(t) = \frac{60}{23}\,\sin(500\,t)\;\text{A}.

Passo 5

Análise para DC ( \omega=0) e para \omega=1000.
Para DC: X_L=0 (curto), X_C=\infty (aberto) no paralelo, logo Z_{p0}=0 e o total é 5\,\Omega. Com 50,V temos
I_{DC} = \frac{50}{5} = 10\;\text{A}.
Para \omega=1000:
Z_L = j\omega L = j(1000)(0{,}004)=j4,\quad Z_C = \frac{1}{j1000\,C} = -j4,
o que torna Z_L + Z_C = j4 - j4 = 0, de modo que o paralelo é aberto ( Z_{p1000}=\infty) e não passa corrente. Então
i_{1000}(t)=0.

Passo 6

Pelo princípio da superposição, a corrente total é a soma dos componentes DC, \omega=500 e \omega=1000:
i(t) = I_{DC} + i_{500}(t) + i_{1000}(t) = 10 + \frac{60}{23}\,\sin(500\,t) + 0.

Resposta

i(t) = 10 + \frac{60}{23}\,\sin(500\,t)\;\text{A}.

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