Exercício 04

Considere um movimento oscilatório descrito pela expressão:
x(t)=A \cos \left(\varphi_{0}+\omega t\right)
(a) Faça x(t)=x(t+T) e obtenha uma expressão para a frequência angular \omega em função do período T.
(b) Utilize a expressão anterior e escreva \omega em função da frequência f do movimento.
(c) Discuta a diferença entre \omega e f, apresentando exemplos de como essas frequências podem ser utilizadas para modelar sistemas oscilatórios.

Passo 1

O enunciado dá a função do movimento oscilatório
x(t)=A\cos\!\left(\varphi_{0}+\omega t\right)
e pede três coisas:
  • (a) tomar x(t)=x(t+T) e obter uma expressão para \omega em função do período T;
  • (b) usar a expressão anterior para escrever \omega em função da frequência f do movimento;
  • (c) discutir a diferença entre \omega e f e dar exemplos de uso em modelagem de sistemas oscilatórios.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A é a amplitude (constante);
  • \varphi_{0} é a fase inicial (constante);
  • \omega é a frequência angular (o que queremos relacionar com T e f);
  • T é o período (tempo para uma oscilação completa);
  • f é a frequência em ciclos por segundo (Hz) relacionada ao período por f=1/T.

Passo 2

Vamos impor a periodicidade pedida: escrever x(t)=x(t+T). Substituindo t e t+T na fórmula:
x(t)=A\cos\!\left(\varphi_{0}+\omega t\right)
x(t+T)=A\cos\!\left(\varphi_{0}+\omega (t+T)\right)=A\cos\!\left(\varphi_{0}+\omega t+\omega T\right).
A condição x(t)=x(t+T) implica
\cos\!\left(\varphi_{0}+\omega t\right)=\cos\!\left(\varphi_{0}+\omega t+\omega T\right).

Passo 3

Explicação sobre igualdade de cossenos (aula curta): a função \cos(\theta) é periódica de período 2\pi, ou seja \cos(\theta)=\cos(\theta+2\pi n) para qualquer inteiro n. Além disso, \cos(\alpha)=\cos(\beta) acontece quando \beta=\alpha+2\pi n ou \beta=-\alpha+2\pi n, mas quando queremos que a mesma forma de sinal e fase se repita para todo t a relação mais natural é a da periodicidade pura:
\varphi_{0}+\omega t+\omega T = \varphi_{0}+\omega t + 2\pi n,
onde n é um inteiro (positivo, negativo ou zero). Note que escolhemos essa forma porque queremos que o argumento avance um número inteiro de voltas completas 2\pi; isso garante repetição idêntica do sinal para todo t.

Passo 4

A partir da igualdade escolhida simplifica-se cancelando \varphi_{0}+\omega t:
\omega T = 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Essa é a condição geral de periodicidade entre \omega e T.

Passo 5

Interpretação e escolha do período fundamental: qualquer n\in\mathbb{Z} satisfaz a relação acima, mas o período físico fundamental (o menor T>0 que repete o movimento) corresponde a n=1. Portanto o período fundamental satisfaz
\omega T = 2\pi\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{2\pi}{T}.
Também é correto escrever a forma geral
\omega=\frac{2\pi n}{T},
mas, na prática, quando falamos em \omega da oscilação (a frequência angular fundamental), usamos n=1.

Passo 6

Agora relacionar \omega com a frequência f. Lembre que a frequência f é definida como número de ciclos por segundo:
f=\frac{1}{T}.
Substituindo T=1/f na expressão \omega=\dfrac{2\pi}{T} obtemos
\omega = 2\pi f.

Passo 7

O que significam as variáveis e unidades (aula prática):
  • \omega tem unidade de radianos por segundo, \mathrm{rad/s}. É a velocidade angular da fase: em cada segundo a fase \varphi_{0}+\omega t avança \omega radianos.
  • f tem unidade de hertz, \mathrm{Hz} (ciclos por segundo). Cada ciclo corresponde a um avanço de 2\pi radianos da fase.
    A conversão é simplesmente multiplicar por 2\pi porque cada ciclo equivale a 2\pi radianos.

Passo 8

Exemplo útil mostrando por que \omega aparece naturalmente em equações diferenciais:
Calcule a velocidade e a aceleração do movimento x(t)=A\cos(\varphi_{0}+\omega t).
Derivando em relação a t:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\varphi_{0}+\omega t),
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^{2}\cos(\varphi_{0}+\omega t)=-\omega^{2}x(t).
Repare que \omega aparece multiplicando nas derivadas: por isso, em equações diferenciais (ex.: massa-mola ou circuitos RLC), a frequência angular \omega surge diretamente nas contas e na forma das soluções. A relação a=-\omega^{2}x é a equação da oscilação harmônica simples com frequência angular \omega.

Passo 9

Exemplos concretos e conversões rápidas (práticos para prova):
  • Rede elétrica: se f=50\\ \mathrm{Hz} então \omega=2\pi f=100\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 314{,}16\\ \mathrm{rad/s}.
  • Rede elétrica (Estados Unidos): f=60\\ \mathrm{Hz}\Rightarrow \omega=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
  • Oscilador massa-mola sem amortecimento: \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}} (rad/s). Se calcular f_{0} em Hz usa-se f_{0}=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}.
  • Pêndulo em pequena amplitude: \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{g}{L}}. Novamente \omega_{0} aparece nas equações e f_{0}=\omega_{0}/(2\pi) é a frequência em ciclos por segundo.

Passo 10

Discussão prática sobre quando usar \omega ou f:
  • Use \omega (rad/s) ao resolver equações diferenciais, ao trabalhar com fases, exponenciais complexas e^{i\omega t} e ao calcular derivadas e respostas em frequência (mais natural matematicamente).
  • Use f (Hz) quando comunicar resultados experimentais, projetar filtros em termos de ciclos por segundo ou ao interpretar medições (instrumentos marcam em Hz).
  • Em gráficos de resposta em frequência: engenheiros às vezes plotam magnitude versus f (Hz) para facilitar interpretação humana; matemáticos/tecnólogos usam \omega em rad/s para cálculos analíticos.
    Pequena motivação e ânimo: é normal confundir no início — pense em f como “quantas voltas por segundo” e \omega como “quantos radianos por segundo”; aprenda a converter com \omega=2\pi f e já ganha muita segurança na prova.

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\frac{2\pi n}{T} (condição geral). Para o período fundamental (menor T>0): \displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}.\n
(b) \displaystyle \omega=2\pi f (pois \displaystyle f=\frac{1}{T}).\n
(c) \omega está em \mathrm{rad/s} e mede avanço de fase em radianos por segundo; f está em \mathrm{Hz} e mede ciclos por segundo. Exemplos: massa-mola com \omega_{0}=\sqrt{k/m}; pêndulo com \omega_{0}=\sqrt{g/L}; rede elétrica f=50\\ \mathrm{Hz}\Rightarrow\omega=100\pi\\ \mathrm{rad/s}.

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