Exercício 04
Considere um movimento oscilatório descrito pela expressão:
(a) Faça
e obtenha uma expressão para a frequência angular
em função do período
.
(b) Utilize a expressão anterior e escreva
em função da frequência
do movimento.
(c) Discuta a diferença entre
e
, apresentando exemplos de como essas frequências podem ser utilizadas para modelar sistemas oscilatórios.
(b) Utilize a expressão anterior e escreva
(c) Discuta a diferença entre
Passo 1
O enunciado dá a função do movimento oscilatório
e pede três coisas:
- (a) tomar
e obter uma expressão para em função do período ; - (b) usar a expressão anterior para escrever
em função da frequência do movimento; - (c) discutir a diferença entre
e e dar exemplos de uso em modelagem de sistemas oscilatórios.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
-
é a amplitude (constante); -
é a fase inicial (constante); -
é a frequência angular (o que queremos relacionar com e ); -
é o período (tempo para uma oscilação completa); -
é a frequência em ciclos por segundo (Hz) relacionada ao período por .
Passo 2
Vamos impor a periodicidade pedida: escrever
. Substituindo
e
na fórmula:
A condição
implica
Passo 3
Explicação sobre igualdade de cossenos (aula curta): a função
é periódica de período
, ou seja
para qualquer inteiro
. Além disso,
acontece quando
ou
, mas quando queremos que a mesma forma de sinal e fase se repita para todo
a relação mais natural é a da periodicidade pura:
onde
é um inteiro (positivo, negativo ou zero). Note que escolhemos essa forma porque queremos que o argumento avance um número inteiro de voltas completas
; isso garante repetição idêntica do sinal para todo
.
Passo 4
A partir da igualdade escolhida simplifica-se cancelando
:
Essa é a condição geral de periodicidade entre
e
.
Passo 5
Interpretação e escolha do período fundamental: qualquer
satisfaz a relação acima, mas o período físico fundamental (o menor
que repete o movimento) corresponde a
. Portanto o período fundamental satisfaz
Também é correto escrever a forma geral
mas, na prática, quando falamos em
da oscilação (a frequência angular fundamental), usamos
.
Passo 6
Agora relacionar
com a frequência
. Lembre que a frequência
é definida como número de ciclos por segundo:
Substituindo
na expressão
obtemos
Passo 7
O que significam as variáveis e unidades (aula prática):
-
tem unidade de radianos por segundo, . É a velocidade angular da fase: em cada segundo a fase avança radianos. -
tem unidade de hertz, (ciclos por segundo). Cada ciclo corresponde a um avanço de radianos da fase.
A conversão é simplesmente multiplicar porporque cada ciclo equivale a radianos.
Passo 8
Exemplo útil mostrando por que
aparece naturalmente em equações diferenciais:
Calcule a velocidade e a aceleração do movimento .
Derivando em relação a :
Calcule a velocidade e a aceleração do movimento
Derivando em relação a
Repare que
aparece multiplicando nas derivadas: por isso, em equações diferenciais (ex.: massa-mola ou circuitos RLC), a frequência angular
surge diretamente nas contas e na forma das soluções. A relação
é a equação da oscilação harmônica simples com frequência angular
.
Passo 9
Exemplos concretos e conversões rápidas (práticos para prova):
- Rede elétrica: se
então . - Rede elétrica (Estados Unidos):
. - Oscilador massa-mola sem amortecimento:
(rad/s). Se calcular em Hz usa-se . - Pêndulo em pequena amplitude:
. Novamente aparece nas equações e é a frequência em ciclos por segundo.
Passo 10
Discussão prática sobre quando usar
ou
:
- Use
(rad/s) ao resolver equações diferenciais, ao trabalhar com fases, exponenciais complexas e ao calcular derivadas e respostas em frequência (mais natural matematicamente). - Use
(Hz) quando comunicar resultados experimentais, projetar filtros em termos de ciclos por segundo ou ao interpretar medições (instrumentos marcam em Hz). - Em gráficos de resposta em frequência: engenheiros às vezes plotam magnitude versus
(Hz) para facilitar interpretação humana; matemáticos/tecnólogos usam em rad/s para cálculos analíticos.
Pequena motivação e ânimo: é normal confundir no início — pense emcomo “quantas voltas por segundo” e como “quantos radianos por segundo”; aprenda a converter com e já ganha muita segurança na prova.
Resposta
(a)
(condição geral). Para o período fundamental (menor
):
\n
(b) (pois
).\n
(c) está em
e mede avanço de fase em radianos por segundo;
está em
e mede ciclos por segundo. Exemplos: massa-mola com
; pêndulo com
; rede elétrica
.
(b)
(c)