Exercício 07: Mostre que p não implica p \wedge q e que p \vee q não implica p.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar que p não implica p\wedge q.
  • Mostrar que p\vee q não implica p.
Informações dadas (que vamos usar):
  • Há duas proposições (variáveis) p e q.
  • Os conectivos envolvidos são conjunção \wedge, disjunção \vee e a noção de implicação (ou consequência) que aqui queremos negar: escrever que A não implica B significa que NÃO é verdade que toda vez que A é verdadeira B também seja verdadeira — ou seja, existe uma atribuição de valores de verdade que torna A verdadeira e B falsa.

Passo 2

Definição importante (material para entender a resolução):
  • Uma proposição atômica como p ou q pode ter valor de verdade Verdadeiro ( \text{V}) ou Falso ( \text{F}).
  • A conjunção \,p\wedge q é verdadeira só quando tanto p quanto q são verdadeiros. Em símbolos: p\wedge q=\text{V}\quad\text{se, e somente se,}\quad p=\text{V}\\ \text{e}\\ q=\text{V}.Nos outros casos p\wedge q=\text{F}.
  • A disjunção \,p\vee q é verdadeira quando pelo menos um dos dois é verdadeiro. Em símbolos: p\vee q=\text{V}\quad\text{se}\quad p=\text{V}\\ \text{ou}\\ q=\text{V}\\ (\text{ou ambos}).Só é falsa quando p=\text{F} e q=\text{F}.
  • A implicação material (ou consequência lógica no sentido semântico) A\Rightarrow B (ou escrevendo A\models B quando se fala em consequência) é falsificada exatamente quando A=\text{V} e B=\text{F}. Em todas as outras combinações ela é verdadeira. Em palavras: para que A implique B em sentido lógico, não pode existir nenhum caso em que A seja verdadeiro e B falso; se existir um caso assim, então A NÃO implica B.

Passo 3

Aplicando a definição ao primeiro item p não implica p\wedge q.
  • Para mostrar que p NÃO implica p\wedge q basta encontrar uma atribuição de valores onde p é verdadeira e p\wedge q é falsa (esse é o contraexemplo).
  • Considere a atribuição \;p=\text{V},\;q=\text{F}.
    • Com esses valores, p é verdadeiro por construção.
    • Calcula-se p\wedge q: como q=\text{F}, então p\wedge q=\text{F} (lembre a definição da conjunção).
  • Temos, portanto, um caso em que a premissa p é \text{V} e a conclusão p\wedge q é \text{F}. Pela definição de implicação, isso torna a implicação p\Rightarrow (p\wedge q) falsa.
  • Conclusão parcial: existe um modelo (atribuição) que contradiz a implicação, logo p não implica p\wedge q.
Comentário intuitivo (pra fixar): dizer apenas que p é verdadeiro não garante que q também seja verdadeiro; como a conjunção exige ambos verdadeiros, não se pode derivar p\wedge q apenas de p.

Passo 4

Aplicando a definição ao segundo item p\vee q não implica p.
  • Para mostrar que p\vee q NÃO implica p basta encontrar uma atribuição onde p\vee q é verdadeira e p é falsa.
  • Considere a atribuição \;p=\text{F},\;q=\text{V}.
    • Aqui p é falso por construção.
    • Calcula-se p\vee q: como q=\text{V}, então p\vee q=\text{V} (basta que um dos dois seja verdadeiro).
  • Assim obtemos um caso em que a premissa p\vee q é \text{V} e a conclusão p é \text{F}. Pela definição de implicação, isso torna a implicação (p\vee q)\Rightarrow p falsa.
  • Conclusão parcial: existe um modelo que falsifica a implicação, logo p\vee q não implica p.
Comentário intuitivo (pra fixar): saber que “p ou q” é verdadeiro não permite saber qual dos dois é verdadeiro; pode ser só q, então não dá para concluir p.

Passo 5

Resumo do método usado e por que é suficiente:
  • Para provar que uma implicação lógica A implica B é falsa (ou que A não implica B), não é preciso analisar todos os conceitos mais avançados; basta fornecer um contraexemplo — uma atribuição de verdade para as variáveis que torne A verdadeira e B falsa. Isso é direto porque a implicação é falsificada exatamente nesse caso.
  • Nos dois itens do exercício encontramos contraexemplos simples e distintos:
    • Para p\not\models p\wedge q: p=\text{V}, q=\text{F}.
    • Para p\vee q\not\models p: p=\text{F}, q=\text{V}.
  • Portanto ambas as implicações solicitadas não valem em geral.

Resposta

\;p\not\models p\wedge q (contraexemplo: p=\text{V},\;q=\text{F}).
\;p\vee q\not\models p (contraexemplo: p=\text{F},\;q=\text{V}).

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