Exercício 07: Mostre que
não implica
e que
não implica
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
não implica . - Mostrar que
não implica .
Informações dadas (que vamos usar):
- Há duas proposições (variáveis)
e . - Os conectivos envolvidos são conjunção
, disjunção e a noção de implicação (ou consequência) que aqui queremos negar: escrever que não implica significa que NÃO é verdade que toda vez que é verdadeira também seja verdadeira — ou seja, existe uma atribuição de valores de verdade que torna verdadeira e falsa.
Passo 2
Definição importante (material para entender a resolução):
- Uma proposição atômica como
ou pode ter valor de verdade Verdadeiro ( ) ou Falso ( ). - A conjunção
é verdadeira só quando tanto quanto são verdadeiros. Em símbolos: Nos outros casos . - A disjunção
é verdadeira quando pelo menos um dos dois é verdadeiro. Em símbolos: Só é falsa quando e . - A implicação material (ou consequência lógica no sentido semântico)
(ou escrevendo quando se fala em consequência) é falsificada exatamente quando e . Em todas as outras combinações ela é verdadeira. Em palavras: para que implique em sentido lógico, não pode existir nenhum caso em que seja verdadeiro e falso; se existir um caso assim, então NÃO implica .
Passo 3
Aplicando a definição ao primeiro item
não implica
.
- Para mostrar que
NÃO implica basta encontrar uma atribuição de valores onde é verdadeira e é falsa (esse é o contraexemplo). - Considere a atribuição
- Com esses valores,
é verdadeiro por construção. - Calcula-se
: como , então (lembre a definição da conjunção).
- Com esses valores,
- Temos, portanto, um caso em que a premissa
é e a conclusão é . Pela definição de implicação, isso torna a implicação falsa. - Conclusão parcial: existe um modelo (atribuição) que contradiz a implicação, logo
não implica .
Comentário intuitivo (pra fixar): dizer apenas que
é verdadeiro não garante que
também seja verdadeiro; como a conjunção exige ambos verdadeiros, não se pode derivar
apenas de
.
Passo 4
Aplicando a definição ao segundo item
não implica
.
- Para mostrar que
NÃO implica basta encontrar uma atribuição onde é verdadeira e é falsa. - Considere a atribuição
- Aqui
é falso por construção. - Calcula-se
: como , então (basta que um dos dois seja verdadeiro).
- Aqui
- Assim obtemos um caso em que a premissa
é e a conclusão é . Pela definição de implicação, isso torna a implicação falsa. - Conclusão parcial: existe um modelo que falsifica a implicação, logo
não implica .
Comentário intuitivo (pra fixar): saber que “p ou q” é verdadeiro não permite saber qual dos dois é verdadeiro; pode ser só
, então não dá para concluir
.
Passo 5
Resumo do método usado e por que é suficiente:
- Para provar que uma implicação lógica
implica é falsa (ou que não implica ), não é preciso analisar todos os conceitos mais avançados; basta fornecer um contraexemplo — uma atribuição de verdade para as variáveis que torne verdadeira e falsa. Isso é direto porque a implicação é falsificada exatamente nesse caso. - Nos dois itens do exercício encontramos contraexemplos simples e distintos:
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Portanto ambas as implicações solicitadas não valem em geral.