Exercício 09: Mostre que (x \neq 0 \rightarrow x=y) \wedge x \neq y \Rightarrow x=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado é a fórmula lógica
\bigl((x \neq 0 \rightarrow x = y)\wedge x \neq y\bigr)\Rightarrow x=0.
  • As informações que temos dentro da implicação antecedente são duas conjuntas:
    • a proposição x \neq 0 \rightarrow x = y (um condicional);
    • a proposição x \neq y (uma negação de igualdade).
  • O que precisamos provar é que, sempre que o antecedente \bigl((x \neq 0 \rightarrow x = y)\wedge x \neq y\bigr) for verdadeiro, então a conclusão x=0 também é verdadeira. Ou seja, mostrar que a implicação inteira é válida.

Passo 2

Explico as regras lógicas que vou usar (bem devagar e simples).
  • O conectivo \rightarrow é o condicional: p\rightarrow q significa "se p então q".
  • A conjunção \wedge significa que ambas as proposições são verdadeiras.
  • A negação \neg transforma verdade em falso e vice-versa; por exemplo x\neq0 é a mesma coisa que \neg(x=0).
  • Duas regras úteis:
    • Modus ponens: de p e p\rightarrow q segue q.
    • Contraposição: p\rightarrow q é logicamente equivalente a \neg q \rightarrow \neg p. Isto é, para qualquer p,q, (p\rightarrow q)\iff(\neg q\rightarrow \neg p).
    Vou usar a contraposição porque aqui o condicional tem a forma x\neq0\rightarrow x=y e temos a negação x\neq y — a contraposição transforma isso numa forma que se aplica diretamente.

Passo 3

Separe as duas partes do antecedente como premissas que assumimos verdadeiras.
Assumimos
1)\quad x\neq0 \rightarrow x=y
2)\quad x\neq y.
Estas são as duas proposições da conjunção \bigl((x \neq 0 \rightarrow x = y)\wedge x \neq y\bigr).

Passo 4

Aplique a contraposição à premissa 1).
Pela contraposição, de
x\neq0 \rightarrow x=y
segue a proposição equivalente
x\neq y \rightarrow \neg(x\neq0).
Escrevendo \neg(x\neq0) em termos de igualdade, lembrando que x\neq0 é \neg(x=0), temos
x\neq y \rightarrow \neg(\neg(x=0)).

Passo 5

Use a lei da dupla negação para simplificar \neg(\neg(x=0)).
Em lógica clássica vale a eliminação da dupla negação:
\neg(\neg(x=0)) \iff x=0.
Portanto a implicação do Passo 4 pode ser escrita de forma clara como
x\neq y \rightarrow x=0.

Passo 6

Combine a implicação do Passo 5 com a premissa 2) usando modus ponens.
Temos
x\neq y \quad\text{(premissa 2)}
e
x\neq y \rightarrow x=0 \quad\text{(do Passo 5)}.
Pelo modus ponens, obtemos
x=0.

Passo 7

Concluímos que, partindo da hipótese \bigl((x \neq 0 \rightarrow x = y)\wedge x \neq y\bigr), chegamos logicamente a x=0. Ou seja, a implicação original é verdadeira:
\bigl((x \neq 0 \rightarrow x = y)\wedge x \neq y\bigr)\Rightarrow x=0.

Resposta

x=0

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