Exercício 09: Mostre que
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado é a fórmula lógica
- As informações que temos dentro da implicação antecedente são duas conjuntas:
- a proposição
(um condicional); - a proposição
(uma negação de igualdade).
- a proposição
- O que precisamos provar é que, sempre que o antecedente
for verdadeiro, então a conclusão também é verdadeira. Ou seja, mostrar que a implicação inteira é válida.
Passo 2
Explico as regras lógicas que vou usar (bem devagar e simples).
- O conectivo
é o condicional: significa "se então ". - A conjunção
significa que ambas as proposições são verdadeiras. - A negação
transforma verdade em falso e vice-versa; por exemplo é a mesma coisa que . - Duas regras úteis:
- Modus ponens: de
e segue . - Contraposição:
é logicamente equivalente a . Isto é, para qualquer ,
e temos a negação — a contraposição transforma isso numa forma que se aplica diretamente. - Modus ponens: de
Passo 3
Separe as duas partes do antecedente como premissas que assumimos verdadeiras.
Assumimos
Estas são as duas proposições da conjunção
.
Passo 4
Aplique a contraposição à premissa
.
Pela contraposição, de
segue a proposição equivalente
Escrevendo
em termos de igualdade, lembrando que
é
, temos
Passo 5
Use a lei da dupla negação para simplificar
.
Em lógica clássica vale a eliminação da dupla negação:
Portanto a implicação do Passo 4 pode ser escrita de forma clara como
Passo 6
Combine a implicação do Passo 5 com a premissa
usando modus ponens.
Temos
e
Pelo modus ponens, obtemos
Passo 7
Concluímos que, partindo da hipótese
, chegamos logicamente a
. Ou seja, a implicação original é verdadeira: