Exercício 3.10.11. Dada a matriz
A=(cc 1 & 0 -2 & 0 )
encontrar, se existe, uma matriz B in M2(R) tal que A B=O. Uma tal matriz è única?

Passo 1

O enunciado pede uma matriz Bin M2(R) tal que A B=O, onde
A = 1 & 0 -2 & 0
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e solução de um sistema linear em que os coeficientes de B aparecem na condição AB=O.

Passo 2

Escrevemos
B = b11 & b12 b21 & b22
e calculamos
AB = 1 & 0 -2 & 0 b11 & b12 b21 & b22 = 1cdot b11 + 0cdot b21 & 1cdot b12 + 0cdot b22 -2cdot b11 + 0cdot b21 & -2cdot b12 + 0cdot b22 = b11 & b12 -2,b11 & -2,b12

Passo 3

Para que AB=O (a matriz zero), exigimos
b11=0, b12=0,
e as duas últimas entradas -2,b11 e -2,b12 já ficam zeradas automaticamente.

Passo 4

Concluímos que b21 e b22 permanecem livres. Assim a família de soluções é
B = 0 & 0 b21 & b22 ,
com b21,b22inR. Como há dois graus de liberdade, existem infinitas matrizes B satisfazendo AB=O, logo não é única.

Resposta

A matriz B existe em infinidade e tem a forma
B = 0 & 0 b21 & b22 ,
com b21,b22inR. Não é única.

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