Exercício 3.10.33. Calcular o determinante da matriz
cccc 1 & 0 & 0 & 1 3 & -1 & 2 & -2 4 & 1 & -1 & 2 0 & 1 & 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4times4. O conteúdo principal aqui é uso da expansão de Laplace (cofatores) e cálculo de determinantes de ordem inferior. Vamos expandir ao longo da primeira linha, já que ela tem dois zeros, o que simplifica bastante o trabalho.

Passo 2

Expandindo o determinante ao longo da primeira linha, temos
det(A) =1cdot C11+0cdot C12+0cdot C13+1cdot C14,
onde C1j=(-1)^1+jdet(M1j). Como C14=(-1)^1+4det(M14)=-det(M14), fica
det(A) =det(M11)-det(M14)

Passo 3

O menor M11 é a submatriz obtida eliminando linha 1 e coluna 1:
M11= -1 & 2 & -2 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det(M11) =(-1)l((-1)cdot1-2cdot0r) -2l(1cdot1-2cdot1r) +(-2)l(1cdot0-(-1)cdot1r) =1+2-2=1

Passo 4

O menor M14 vem de eliminar linha 1 e coluna 4:
M14= 3 & -1 & 2 4 & 1 & -1 0 & 1 & 0
Expandindo na primeira linha:
det(M14) =3l(1cdot0-(-1)cdot1r) -(-1)l(4cdot0-(-1)cdot0r) +2l(4cdot1-1cdot0r) =3cdot1+0+2cdot4=3+8=11

Passo 5

Substituindo em det(A)=det(M11)-det(M14), obtemos
det(A)=1-11=-10

Resposta

-10

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