Exercício 10 Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio: \int_{8}^{x^{2}} e^{2 t+3} d t
Passo 1
O enunciado pede para definir a função
F(x)=\int_{8}^{x^{2}} e^{2t+3}\,dt
e indicar seu domínio. Aqui vamos usar o conteúdo de antiderivadas de funções exponenciais e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar essa integral em termos de x.
Passo 2
Primeiro, encontramos uma antiderivada de e^{2t+3}. Como a derivada de 2t+3 é 2, temos
\int e^{2t+3}\,dt =\frac{1}{2}\,e^{2t+3}+C.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de limite inferior 8 até limite superior x^{2}, obtemos
A integral definida de uma função contínua é bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Como x^{2} sempre retorna um número real e e^{2t+3} é contínua em \mathbb{R}, o domínio de F é \mathbb{R}.