Exercício 10 Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
\int_{8}^{x^{2}} e^{2 t+3} d t

Passo 1

O enunciado pede para definir a função
F(x)=\int_{8}^{x^{2}} e^{2t+3}\,dt
e indicar seu domínio. Aqui vamos usar o conteúdo de antiderivadas de funções exponenciais e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar essa integral em termos de x.

Passo 2

Primeiro, encontramos uma antiderivada de e^{2t+3}. Como a derivada de 2t+3 é 2, temos
\int e^{2t+3}\,dt =\frac{1}{2}\,e^{2t+3}+C.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de limite inferior 8 até limite superior x^{2}, obtemos
F(x) =\left.\frac{1}{2}e^{2t+3}\right|_{t=8}^{t=x^{2}} =\frac{1}{2}e^{2x^{2}+3}-\frac{1}{2}e^{2\cdot8+3} =\frac{1}{2}e^{2x^{2}+3}-\frac{1}{2}e^{19}.

Passo 4

A integral definida de uma função contínua é bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Como x^{2} sempre retorna um número real e e^{2t+3} é contínua em \mathbb{R}, o domínio de F é \mathbb{R}.

Resposta

F(x)=\frac{1}{2}e^{2x^{2}+3}-\frac{1}{2}e^{19}, \qquad \text{domínio: }\mathbb{R}.í

Exercícios relacionados