Calcule as integrais:
\int \cos 4 x \cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos 4x \,\cos 2x \,dx.
Aqui o conteúdo principal é usar identidades trigonométricas (produto para soma) para transformar o produto de cossenos em soma de cossenos, o que facilita a integração termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos A \,\cos B = \frac12\bigl[\cos(A - B) + \cos(A + B)\bigr],
com A = 4x e B = 2x. Assim,
\cos 4x \,\cos 2x = \frac12\bigl[\cos(4x - 2x) + \cos(4x + 2x)\bigr] = \frac12\bigl[\cos 2x + \cos 6x\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, vem
\int \cos 4x \,\cos 2x \,dx = \frac12 \int \bigl[\cos 2x + \cos 6x\bigr] \,dx = \frac12\int \cos 2x \,dx + \frac12\int \cos 6x \,dx.
Sabendo que
\int \cos kx \,dx = \frac1k \sin kx + C,
temos
\int \cos 2x \,dx = \frac1{2}\sin 2x, \qquad \int \cos 6x \,dx = \frac1{6}\sin 6x.

Passo 4

Multiplicando pelos fatores externos:
\frac12\int \cos 2x \,dx = \frac12\cdot\frac1{2}\sin 2x = \frac1{4}\sin 2x, \quad \frac12\int \cos 6x \,dx = \frac12\cdot\frac1{6}\sin 6x = \frac1{12}\sin 6x.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \cos 4x \,\cos 2x \,dx = \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 6x}{12} + C.

Resposta

\frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 6x}{12} + C

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