Exercício 2.10 Determine o maior conjunto no qual a função é continua
(a) f(x, y)=\frac{\sin (x y)}{e^{x}-y^{2}}.
(b) f(x, y)=\frac{x-y}{1-x^{2}-y^{2}}.
(c) f(x, y)=\frac{\sqrt{y}}{x^{2}-y^{2}+z^{2}}.
(d) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
(e) f(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y}
(f) f(x, y)=\frac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}
(g) f(x, y, z)=\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}-z}

Passo 1

O problema pede para cada função de várias variáveis determinar o maior conjunto em que ela é contínua. O conceito-chave é que quocientes de funções contínuas são contínuos em seu domínio (onde o denominador não se anula), e raízes quadradas de variáveis são contínuas quando o argumento é não-negativo. No caso da parte (d) há ainda que analisar a continuidade num ponto isolado.

Passo 2

Para
f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{e^x - y^2}
o numerador \sin(xy) é contínuo em \mathbb R^2, e o denominador e^x - y^2 é contínuo em \mathbb R^2 e só se anula quando
e^x - y^2 = 0.
Assim f é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid e^x - y^2 \neq 0\}.

Passo 3

Para
f(x,y)=\frac{x-y}{1 - x^2 - y^2}
o denominador 1 - x^2 - y^2 se anula exatamente na circunferência x^2 + y^2 = 1. Logo f é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2 + y^2 \neq 1\}.

Passo 4

Para
f(x,y,z)=\frac{\sqrt{y}}{\,x^2 - y^2 + z^2\,}
temos duas restrições:
  1. A raiz exige y\ge0.
  2. O denominador não pode ser zero, ou seja
x^2 - y^2 + z^2 \neq 0.
Portanto f é contínua em
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid y\ge0,\;x^2 - y^2 + z^2 \neq 0\}.

Passo 5

Para
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y^3}{2x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
no ponto (x,y)\neq(0,0) o denominador 2x^2+y^2>0, então f é contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}. Para ver se é contínua em (0,0), calculamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^3}{2x^2+y^2}.
Usando, por exemplo, a desigualdade
\bigl|x^2y^3/(2x^2+y^2)\bigr|\le \frac{|x|^2|y|^3}{y^2} =|x|^2|y|\to0,
vê-se que o limite é 0, mas f(0,0)=1. Logo há descontinuidade em (0,0) e f é contínua apenas em
\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 6

Para
f(x,y)=\frac{1}{\,x^2 - y\,}
o denominador se anula quando x^2 - y = 0, isto é na parábola y = x^2. Assim f é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y\neq x^2\}.

Passo 7

Para
f(x,y)=\frac{x-y}{1 + x^2 + y^2}
o denominador 1 + x^2 + y^2\ge1 nunca é zero. Portanto f é contínua em todo \mathbb R^2.

Passo 8

Para
f(x,y,z)=\frac{xyz}{\,x^2 + y^2 - z\,}
basta exigir que o denominador não se anule:
x^2 + y^2 - z \neq 0.
Logo f é contínua em
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2 + y^2 \neq z\}.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid e^x - y^2 \neq 0\}
(b) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2 + y^2 \neq 1\}
(c) \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid y\ge0,\;x^2 - y^2 + z^2 \neq 0\}
(d) \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}
(e) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y\neq x^2\}
(f) \mathbb R^2
(g) \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2 + y^2 \neq z\}

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