Exercício 2.10 Determine o maior conjunto no qual a função é continua
(a) f(x, y)=\frac{\sin (x y)}{e^{x}-y^{2}}.
(b) f(x, y)=\frac{x-y}{1-x^{2}-y^{2}}.
(c) f(x, y)=\frac{\sqrt{y}}{x^{2}-y^{2}+z^{2}}.
(d) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
(e) f(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y}
(f) f(x, y)=\frac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}
(g) f(x, y, z)=\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}-z}
Passo 1
O problema pede para cada função de várias variáveis determinar o maior conjunto em que ela é contínua. O conceito-chave é que quocientes de funções contínuas são contínuos em seu domínio (onde o denominador não se anula), e raízes quadradas de variáveis são contínuas quando o argumento é não-negativo. No caso da parte (d) há ainda que analisar a continuidade num ponto isolado.
Passo 2
Para
f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{e^x - y^2}
o numerador \sin(xy) é contínuo em \mathbb R^2, e o denominador e^x - y^2 é contínuo em \mathbb R^2 e só se anula quando
e^x - y^2 = 0.
Assim f é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid e^x - y^2 \neq 0\}.
Passo 3
Para
f(x,y)=\frac{x-y}{1 - x^2 - y^2}
o denominador 1 - x^2 - y^2 se anula exatamente na circunferência x^2 + y^2 = 1. Logo f é contínua em