Exercício 2.10 Determine o maior conjunto no qual a função é continua
(a) f(x, y)=\frac{\sin (x y)}{e^{x}-y^{2}}.
(b) f(x, y)=\frac{x-y}{1-x^{2}-y^{2}}.
(c) f(x, y)=\frac{\sqrt{y}}{x^{2}-y^{2}+z^{2}}.
(d) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
(e) f(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y}
(f) f(x, y)=\frac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}
(g) f(x, y, z)=\frac{x y z}{x^{2}+y^{2}-z}

Passo 1

O enunciado pede o maior conjunto de continuidade de várias funções multivariadas. Lembrando que funções elementares como polinômios, \sin, e^x, raízes e quocientes são contínuas em seu domínio natural, bastando então identificar para cada caso onde surgem problemas de denominador zero ou argumento de raiz fora do permitido.

Passo 2

Para as funções definidas por quociente de duas funções contínuas sem raiz, o domínio de continuidade é exatamente onde o denominador não se anula. Aplicando isso:
(a) \displaystyle f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{e^{x}-y^{2}} é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid e^{x}-y^{2}\neq 0\}.
(b) \displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{1-x^{2}-y^{2}} é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid 1-x^{2}-y^{2}\neq 0\}.
(e) \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y} é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}-y\neq 0\}.
(g) \displaystyle f(x,y,z)=\frac{x\,y\,z}{x^{2}+y^{2}-z} é contínua em
\{(x,y,z)\in\mathbb R^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z\neq 0\}.

Passo 3

Em (c) há também uma raiz quadrada de y, cuja continuidade exige y\ge 0, além do denominador não nulo:
f(x,y,z)=\frac{\sqrt{y}}{x^{2}-y^{2}+z^{2}}
é contínua em
\{(x,y,z)\in\mathbb R^{3}\mid y\ge 0,\;x^{2}-y^{2}+z^{2}\neq 0\}.

Passo 4

No item (f) \displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}} o denominador 1+x^{2}+y^{2} é sempre positivo. Logo f é contínua em todo \displaystyle \mathbb R^{2}.

Passo 5

No item (d) temos
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Para (x,y)\neq(0,0) a função é quociente de polinômios com 2x^{2}+y^{2}\neq 0, logo contínua em \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}. Para verificar continuidade em (0,0) calculamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} \sim\frac{O(r^{5})}{O(r^{2})}=O(r^{3})\to 0\neq 1,
logo há descontinuidade em (0,0). Assim f é contínua em \displaystyle \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid e^{x}-y^{2}\neq 0\}.
(b) \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid 1-x^{2}-y^{2}\neq 0\}.
(c) \{(x,y,z)\in\mathbb R^{3}\mid y\ge 0,\;x^{2}-y^{2}+z^{2}\neq 0\}.
(d) \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(e) \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}-y\neq 0\}.
(f) \mathbb R^{2}.
(g) \{(x,y,z)\in\mathbb R^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z\neq 0\}.

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