Exercício 10. Encontre a inversa de cada uma das matrizes seguintes (se existir).
A=\left(\begin{array}{cc} 7 & 4 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\\\ 4 & 5 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{cc} 4 & -6 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2 \\\\ 6 & -3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá quatro matrizes 2\times2 e pede suas inversas, se existirem. Vamos usar o conceito de determinante e a fórmula da inversa para matrizes 2\times2:
\text{se }M=\begin{pmatrix}a & b\\[6pt] c & d\end{pmatrix}\text{ e }\det(M)=ad-bc\neq0,\text{ então } M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[6pt] -c & a\end{pmatrix}.ã]

Passo 2

Para A=\begin{pmatrix}7 & 4\\[3pt]5 & 3\end{pmatrix} temos
\det(A)=7\cdot3-4\cdot5=21-20=1\neq0,
então
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}3 & -4\\[3pt]-5 & 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -4\\[3pt]-5 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para B=\begin{pmatrix}2 & 3\\[3pt]4 & 5\end{pmatrix} calculamos
\det(B)=2\cdot5-3\cdot4=10-12=-2\neq0,
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B^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}5 & -3\\[3pt]-4 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2}\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para C=\begin{pmatrix}4 & -6\\[3pt]-2 & 3\end{pmatrix} temos
\det\text{(C)}=4\cdot3-(-6)\cdot(-2)=12-12=0.
Como o determinante é zero, C não é invertível.]

Passo 5

Para D=\begin{pmatrix}5 & -2\\[3pt]6 & -3\end{pmatrix} calculamos
\det(D)=5\cdot(-3)-(-2)\cdot6=-15+12=-3\neq0,
portanto
D^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-3 & 2\\[3pt]-6 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{2}{3}\\[3pt]2 & -\tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}3 & -4\\[3pt]-5 & 7\end{pmatrix}
B^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2}\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix}
C não é invertível
D^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{2}{3}\\[3pt]2 & -\tfrac{5}{3}\end{pmatrix}]

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