Exercício 10: Explique por que as sentenças abaixo possuem significados distintos e determine quais são verdadeiras e quais são falsas:
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Explicar por que (ou se) sentenças envolvendo quantificadores têm significados distintos.
- Determinar se a sentença dada é verdadeira ou falsa.
Informações fornecidas:
- A sentença apresentada é
tais que . - Universos:
(números naturais) e (números inteiros). - Predicado a verificar:
é a afirmação “ ”.
Observações sobre ambiguidade que já ficam registradas (não vou perguntar nada, apenas explico): existe ambiguidade comum sobre se
contém
ou começa em
. Vou tratar ambos os casos ao avaliar a verdade da sentença.
Passo 2
O que significa uma sentença com quantificadores existenciais? Vamos estudar cuidadosamente o sentido de cada pedaço para você poder usar isso na prova.
-
Definição do quantificador existencial: a sentençasignifica: “existe pelo menos um
em e existe pelo menos um em tais que seja verdadeira”. Em linguagem de sala: basta encontrar um par com , que satisfaça . -
Ordem de quantificadores do mesmo tipo: quando ambos os quantificadores são existenciais (ou ambos são universais), a ordem NÃO altera o significado lógico. Em símbolos:Explicação simples: se existe um
e um com a propriedade, então também existe esse mesmo e esse mesmo ; trocar a ordem só muda a leitura, não a existência do par. Vou mostrar um mini-protótipo de prova abaixo.
Mini-prova da equivalência:
- Suponha
. Então existem e com . Portanto, existindo esse e esse , temos . A implicação inversa é análoga. Logo são logicamente equivalentes.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: as duas sentenças
têm o mesmo significado lógico (porque ambos os quantificadores são existenciais). Agora vamos verificar se essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Avaliação da verdade da sentença
tais que
.
-
Estratégia: encontrar um exemplo concreto (um testemunho) — um par
com , e . Lembre-se: para provar uma existência, basta dar um exemplo. -
Dois exemplos fáceis:
- Se a convenção for
, então escolha . Tem-se , e . Logo um testemunho é . - Se a convenção for
(ou seja, sem o zero), então escolha . Tem-se , e . Logo um testemunho é .
- Se a convenção for
Em qualquer convenção usual para
, existe um par
com
. Portanto a sentença existencial é verdadeira.
Observação adicional (útil para prova/exame): também poderíamos escolher
e
, pois
; isso mostra que o
pode ser negativo e ainda assim atender à condição, o que é perfeitamente permitido porque
.
Passo 5
Para fixar a ideia sobre “ordem importa ou não”: mostro um exemplo contrastante com quantificadores diferentes (isso ajuda a entender por que algumas sentenças parecem “parecer iguais” mas não são).
-
Exemplo onde a ordem importa:lê-se: "para todo
existe um tal que ". Isso é falso: por exemplo não é quadrado de nenhum inteiro. Logo esta sentença é falsa. Em contraste,lê-se: "existe umque ao quadrado é igual a todo ". Isso também é falso (um número fixo não pode ser igual aos quadrados de todos os naturais). Esses dois exemplos mostram que quando se mistura e a ordem faz diferença — por isso o cuidado habitual em provas.
Passo 6
Resumo pedagógico e motivador (só um empurrão final): para provar sentenças com
você procura um testemunho; para provar
precisa argumentar para um elemento arbitrário. Quando houver apenas quantificadores do mesmo tipo, a ordem não altera o sentido; quando forem diferentes, a ordem geralmente altera e você deve prestar atenção.
Resposta
A sentença
é verdadeira.
A sentença é equivalente à anterior (ordem dos existenciais não importa) e portanto também é verdadeira.
A sentença