Exercício 10: Explique por que as sentenças abaixo possuem significados distintos e determine quais são verdadeiras e quais são falsas:
\exists x \in \mathbb{N}, \exists y \in \mathbb{Z} tais que y^{2}=x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Explicar por que (ou se) sentenças envolvendo quantificadores têm significados distintos.
  • Determinar se a sentença dada é verdadeira ou falsa.
Informações fornecidas:
  • A sentença apresentada é \exists x \in \mathbb{N},\; \exists y \in \mathbb{Z} tais que y^{2}=x.
  • Universos: \mathbb{N} (números naturais) e \mathbb{Z} (números inteiros).
  • Predicado a verificar: P(x,y) é a afirmação “ y^{2}=x”.
Observações sobre ambiguidade que já ficam registradas (não vou perguntar nada, apenas explico): existe ambiguidade comum sobre se \mathbb{N} contém 0 ou começa em 1. Vou tratar ambos os casos ao avaliar a verdade da sentença.

Passo 2

O que significa uma sentença com quantificadores existenciais? Vamos estudar cuidadosamente o sentido de cada pedaço para você poder usar isso na prova.
  • Definição do quantificador existencial: a sentença
    \exists x\in A,\; \exists y\in B\; P(x,y)
    significa: “existe pelo menos um x em A e existe pelo menos um y em B tais que P(x,y) seja verdadeira”. Em linguagem de sala: basta encontrar um par (a,b) com a\in A, b\in B que satisfaça P(a,b).
  • Ordem de quantificadores do mesmo tipo: quando ambos os quantificadores são existenciais (ou ambos são universais), a ordem NÃO altera o significado lógico. Em símbolos:
    \exists x\in A\; \exists y\in B\; P(x,y) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists y\in B\; \exists x\in A\; P(x,y).
    Explicação simples: se existe um x e um y com a propriedade, então também existe esse mesmo y e esse mesmo x; trocar a ordem só muda a leitura, não a existência do par. Vou mostrar um mini-protótipo de prova abaixo.
Mini-prova da equivalência:
  • Suponha \exists x\in A\; \exists y\in B\; P(x,y). Então existem a\in A e b\in B com P(a,b). Portanto, existindo esse b e esse a, temos \exists y\in B\; \exists x\in A\; P(x,y). A implicação inversa é análoga. Logo são logicamente equivalentes.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: as duas sentenças
\exists x\in\mathbb{N}\; \exists y\in\mathbb{Z}\; (y^2=x) \quad\text{e}\quad \exists y\in\mathbb{Z}\; \exists x\in\mathbb{N}\; (y^2=x)
têm o mesmo significado lógico (porque ambos os quantificadores são existenciais). Agora vamos verificar se essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Avaliação da verdade da sentença \exists x\in\mathbb{N},\; \exists y\in\mathbb{Z} tais que y^{2}=x.
  • Estratégia: encontrar um exemplo concreto (um testemunho) — um par (x,y) com x\in\mathbb{N}, y\in\mathbb{Z} e y^2=x. Lembre-se: para provar uma existência, basta dar um exemplo.
  • Dois exemplos fáceis:
    • Se a convenção for \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, então escolha y=0\in\mathbb{Z}. Tem-se y^2=0, e 0\in\mathbb{N}. Logo um testemunho é (x,y)=(0,0).
    • Se a convenção for \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (ou seja, sem o zero), então escolha y=1\in\mathbb{Z}. Tem-se y^2=1, e 1\in\mathbb{N}. Logo um testemunho é (x,y)=(1,1).
Em qualquer convenção usual para \mathbb{N}, existe um par (x,y) com y^2=x. Portanto a sentença existencial é verdadeira.
Observação adicional (útil para prova/exame): também poderíamos escolher y=-1 e x=1, pois (-1)^2=1; isso mostra que o y pode ser negativo e ainda assim atender à condição, o que é perfeitamente permitido porque y\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Para fixar a ideia sobre “ordem importa ou não”: mostro um exemplo contrastante com quantificadores diferentes (isso ajuda a entender por que algumas sentenças parecem “parecer iguais” mas não são).
  • Exemplo onde a ordem importa:
    \forall x\in\mathbb{N}\; \exists y\in\mathbb{Z}\; (y^2=x)
    lê-se: "para todo x\in\mathbb{N} existe um y\in\mathbb{Z} tal que y^2=x". Isso é falso: por exemplo x=2 não é quadrado de nenhum inteiro. Logo esta sentença é falsa.
    Em contraste,
    \exists y\in\mathbb{Z}\; \forall x\in\mathbb{N}\; (y^2=x)
    lê-se: "existe um y\in\mathbb{Z} que ao quadrado é igual a todo x\in\mathbb{N}". Isso também é falso (um número fixo não pode ser igual aos quadrados de todos os naturais). Esses dois exemplos mostram que quando se mistura \forall e \exists a ordem faz diferença — por isso o cuidado habitual em provas.

Passo 6

Resumo pedagógico e motivador (só um empurrão final): para provar sentenças com \exists você procura um testemunho; para provar \forall precisa argumentar para um elemento arbitrário. Quando houver apenas quantificadores do mesmo tipo, a ordem não altera o sentido; quando forem diferentes, a ordem geralmente altera e você deve prestar atenção.

Resposta

A sentença \exists x\in\mathbb{N}\; \exists y\in\mathbb{Z}\; (y^2=x) é verdadeira.
A sentença \exists y\in\mathbb{Z}\; \exists x\in\mathbb{N}\; (y^2=x) é equivalente à anterior (ordem dos existenciais não importa) e portanto também é verdadeira.

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