Exercício 12 Reescreva as sentenças abaixo usando o que se pede.
(Use o máximo possível de símbolos matemáticos para reescrever) Sejam x e y números reais. Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é contínua em x quando, para todo épsilon positivo, existir um delta positivo, tal que o módulo da diferença de f(x) e f(y) é menor do que épsilon, sempre que o módulo da diferença de x e y for menor do que delta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui está tirado do próprio enunciado):
  • x e y são números reais.
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • A frase a ser reescrita: “Uma função f é contínua em x quando, para todo épsilon positivo, existir um delta positivo, tal que o módulo da diferença de f(x) e f(y) é menor do que épsilon, sempre que o módulo da diferença de x e y for menor do que delta.”
O que se pede:
  • Reescrever essa definição usando o máximo possível de símbolos matemáticos (ou seja, transformar a frase em uma formulação simbólica padrão da continuidade em um ponto).

Passo 2

Vou traduzir a frase em pedaços menores e mostrar qual símbolo corresponde a cada pedaço (isso ajuda a montar a versão final corretamente).
  • “Para todo épsilon positivo” corresponde a \forall \varepsilon>0.
    Explicação curta: \forall significa “para todo”. O símbolo \varepsilon>0 fixa que estamos falando de números positivos.
  • “exista um delta positivo” corresponde a \exists \delta>0.
    Explicação curta: \exists significa “existe”. O delta depende possivelmente de \varepsilon, por isso fica dentro do escopo do quantificador existencial que vem depois de \forall\varepsilon.
  • “sempre que o módulo da diferença de x e y for menor do que delta” corresponde a |y-x|<\delta.
    Explicação curta: usamos |\cdot| para módulo (valor absoluto).
  • “o módulo da diferença de f(x) e f(y) é menor do que épsilon” corresponde a |f(y)-f(x)|<\varepsilon.
  • A ligação lógica “sempre que … então …” vira uma implicação lógica: |y-x|<\delta \Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon.
    Explicação curta: lê-se "se |y-x|<\delta então |f(y)-f(x)|<\varepsilon".
  • Também é importante fixar o universo de variação de y: geralmente dizemos \forall y\in\mathbb{R} (ou apenas \forall y sabendo que y é real).
Ordem dos quantificadores (muito importante): a definição padrão exige primeiro \forall \varepsilon>0 e depois \exists \delta>0. Trocar essa ordem muda o significado da afirmação, então atenção nisso na hora da prova.
Observação de notação: às vezes usa-se x_0 para denotar o ponto onde se verifica continuidade (assim evita confusão entre o x fixo e a variável y). Ambas as notações são equivalentes: usar x como ponto fixo ou usar x_0.

Passo 3

Um exemplo rápido e simples para fixar a ideia (para te animar): a função identidade g(t)=t é contínua em qualquer x. Prova curta usando símbolos: dado \varepsilon>0 escolha \delta=\varepsilon. Então, se |y-x|<\delta temos |g(y)-g(x)|=|y-x|<\varepsilon. Voilà — continuidade demonstrada com \delta=\varepsilon. Isso ilustra como funciona a estrutura “dado \varepsilon existe \delta tal que…”.

Resposta

\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \forall y\in\mathbb{R}\\ \big( |y-x|<\delta \Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon \big)
\text{ou, usando }x_0\text{ para o ponto,}
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \forall y\in\mathbb{R}\\ \big( |y-x_0|<\delta \Rightarrow |f(y)-f(x_0)|<\varepsilon \big)
\text{forma equivalente com limite:}\quad \lim_{y\to x} f(y)=f(x).

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