Exercício 12 Reescreva as sentenças abaixo usando o que se pede.
(Use o máximo possível de símbolos matemáticos para reescrever) Sejam
e
números reais. Uma função
é contínua em
quando, para todo épsilon positivo, existir um delta positivo, tal que o módulo da diferença de
e
é menor do que épsilon, sempre que o módulo da diferença de
e
for menor do que delta.
(Use o máximo possível de símbolos matemáticos para reescrever) Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui está tirado do próprio enunciado):
-
e são números reais. -
. - A frase a ser reescrita: “Uma função
é contínua em quando, para todo épsilon positivo, existir um delta positivo, tal que o módulo da diferença de e é menor do que épsilon, sempre que o módulo da diferença de e for menor do que delta.”
O que se pede:
- Reescrever essa definição usando o máximo possível de símbolos matemáticos (ou seja, transformar a frase em uma formulação simbólica padrão da continuidade em um ponto).
Passo 2
Vou traduzir a frase em pedaços menores e mostrar qual símbolo corresponde a cada pedaço (isso ajuda a montar a versão final corretamente).
-
“Para todo épsilon positivo” corresponde a
.
Explicação curta:significa “para todo”. O símbolo fixa que estamos falando de números positivos. -
“exista um delta positivo” corresponde a
.
Explicação curta:significa “existe”. O delta depende possivelmente de , por isso fica dentro do escopo do quantificador existencial que vem depois de . -
“sempre que o módulo da diferença de
e for menor do que delta” corresponde a .
Explicação curta: usamospara módulo (valor absoluto). -
“o módulo da diferença de
e é menor do que épsilon” corresponde a . -
A ligação lógica “sempre que … então …” vira uma implicação lógica:
.
Explicação curta: lê-se "seentão ". -
Também é importante fixar o universo de variação de
: geralmente dizemos (ou apenas sabendo que é real).
Ordem dos quantificadores (muito importante): a definição padrão exige primeiro
e depois
. Trocar essa ordem muda o significado da afirmação, então atenção nisso na hora da prova.
Observação de notação: às vezes usa-se
para denotar o ponto onde se verifica continuidade (assim evita confusão entre o
fixo e a variável
). Ambas as notações são equivalentes: usar
como ponto fixo ou usar
.
Passo 3
Um exemplo rápido e simples para fixar a ideia (para te animar): a função identidade
é contínua em qualquer
. Prova curta usando símbolos: dado
escolha
. Então, se
temos
. Voilà — continuidade demonstrada com
. Isso ilustra como funciona a estrutura “dado
existe
tal que…”.