Exercício 10. A Lei de Ampère-Maxwell e a corrente de deslocamento.
a) Explique por que a Lei de Ampère original (sem o termo de deslocamento) é inconsistente com a equação da continuidade para circuitos onde o campo elétrico varia com o tempo (ex: capacitor carregando).
b) Descreva um experimento conceitual que demonstraria a existência da corrente de deslocamento.
c) Um capacitor de placas paralelas com área
e separação
possui um dielétrico com
. Se uma tensão
é aplicada, calcule a densidade de corrente de deslocamento no dielétrico.
d) Determine a corrente de deslocamento total atravessando o dielétrico do capacitor do item (c).
a) Explique por que a Lei de Ampère original (sem o termo de deslocamento) é inconsistente com a equação da continuidade para circuitos onde o campo elétrico varia com o tempo (ex: capacitor carregando).
b) Descreva um experimento conceitual que demonstraria a existência da corrente de deslocamento.
c) Um capacitor de placas paralelas com área
d) Determine a corrente de deslocamento total atravessando o dielétrico do capacitor do item (c).
Passo 1
O exercício trata da correção de Maxwell à Lei de Ampère original, introduzindo a corrente de deslocamento para garantir compatibilidade com a equação da continuidade. Vamos usar:
- A equação da continuidade
- A Lei de Ampère sem correção
- A definição de deslocamento elétrico
e a expressão da corrente de deslocamento
No capacitor paralelo, aplicaremos uma tensão senoidal
, com área
,
, distância
,mm e
,
.
Passo 2
(a) A Lei de Ampère original diz
. Fazendo a divergência em ambos os lados:
mas pela continuidade teríamos
se
. Essa contradição mostra que, quando
varia (por exemplo num capacitor carregando), não se conserva carga sem um termo adicional. Maxwell introduziu
para restaurar a consistência.
Passo 3
(b) Experimento conceitual: num circuito de carga de capacitor, colocamos uma espira de detecção entre as placas (no dielétrico) e outra no fio de alimentação. Observa-se que o campo magnético medido pela espira no fio indica uma corrente
, e a espira entre as placas também detecta o mesmo campo magnético, mesmo sem carga de condução lá. Isso evidencia uma “corrente” através do dielétrico, a corrente de deslocamento, que fecha a lei de Ampère-Maxwell.
Passo 4
(c) Primeiro achamos
com
e
.
Calculando:
Como
e
,
Passo 5
(d) A corrente de deslocamento total é
Resposta
(a) A divergência de
dá zero, mas a continuidade exige
, gerando contradição quando
varia. Maxwell adicionou
.
(b) Usar espiras de detecção de no fio e entre as placas de um capacitor carregando; ambas medem o mesmo efeito magnético, revelando
.
(c)
(b) Usar espiras de detecção de
(c)
(d)