Exercício 10. A Lei de Ampère-Maxwell e a corrente de deslocamento.
a) Explique por que a Lei de Ampère original (sem o termo de deslocamento) é inconsistente com a equação da continuidade para circuitos onde o campo elétrico varia com o tempo (ex: capacitor carregando).
b) Descreva um experimento conceitual que demonstraria a existência da corrente de deslocamento.
c) Um capacitor de placas paralelas com área A=0.1 \mathrm{~m}^{2} e separação d=1 \mathrm{~mm} possui um dielétrico com \epsilon_{r}=5. Se uma tensão V=10 \sin \left(1 \times 10^{5} t\right) \mathrm{V} é aplicada, calcule a densidade de corrente de deslocamento no dielétrico.
d) Determine a corrente de deslocamento total atravessando o dielétrico do capacitor do item (c).

Passo 1

O exercício trata da correção de Maxwell à Lei de Ampère original, introduzindo a corrente de deslocamento para garantir compatibilidade com a equação da continuidade. Vamos usar:
  1. A equação da continuidade
\nabla\cdot J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0,
  1. A Lei de Ampère sem correção
\nabla\times B = \mu_{0} J,
  1. A definição de deslocamento elétrico D=\epsilon E e a expressão da corrente de deslocamento
J_{d} = \frac{\partial D}{\partial t} = \epsilon\,\frac{\partial E}{\partial t}.
No capacitor paralelo, aplicaremos uma tensão senoidal \,V(t)=10\sin\bigl(10^{5}t\bigr)\,\mathrm{V}, com área A=0,1, m^{2}, distância d=1,mm e \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0}, \epsilon_{r}=5.

Passo 2

(a) A Lei de Ampère original diz \nabla\times B=\mu_{0}J. Fazendo a divergência em ambos os lados:
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times B\bigr)=0,
mas pela continuidade teríamos
\nabla\cdot(\mu_{0}J) = -\mu_{0}\frac{\partial \rho}{\partial t}\neq 0
se \partial\rho/\partial t\neq0. Essa contradição mostra que, quando \rho varia (por exemplo num capacitor carregando), não se conserva carga sem um termo adicional. Maxwell introduziu J_{d}=\epsilon_{0}\,\partial E/\partial t para restaurar a consistência.

Passo 3

(b) Experimento conceitual: num circuito de carga de capacitor, colocamos uma espira de detecção entre as placas (no dielétrico) e outra no fio de alimentação. Observa-se que o campo magnético medido pela espira no fio indica uma corrente I, e a espira entre as placas também detecta o mesmo campo magnético, mesmo sem carga de condução lá. Isso evidencia uma “corrente” através do dielétrico, a corrente de deslocamento, que fecha a lei de Ampère-Maxwell.

Passo 4

(c) Primeiro achamos J_{d}=\partial D/\partial t com D=\epsilon E e E=V/d.
J_{d} = \epsilon\,\frac{\partial }{\partial t}\Bigl(\frac{V(t)}{d}\Bigr) = \frac{\epsilon}{d}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[10\sin(10^{5}t)\bigr].
Calculando:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[10\sin(10^{5}t)\bigr] =10\cdot10^{5}\cos(10^{5}t) =10^{6}\cos(10^{5}t).
Como \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0}=5\cdot8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}=4{,}427\times10^{-11}\,\mathrm{F/m} e d=1\times10^{-3}\,\mathrm{m},
J_{d}(t) = \frac{4{,}427\times10^{-11}}{1\times10^{-3}} \;10^{6}\cos(10^{5}t) =4{,}427\times10^{-2}\cos(10^{5}t)\;\mathrm{A/m^{2}}.

Passo 5

(d) A corrente de deslocamento total é
I_{d}(t)=J_{d}(t)\,A =4{,}427\times10^{-2}\cos(10^{5}t)\times0{,}1 =4{,}427\times10^{-3}\cos(10^{5}t)\;\mathrm{A}.

Resposta

(a) A divergência de \nabla\times B=\mu_{0}J dá zero, mas a continuidade exige -\mu_{0}\partial\rho/\partial t, gerando contradição quando \rho varia. Maxwell adicionou J_{d}=\epsilon_{0}\,\partial E/\partial t.
(b) Usar espiras de detecção de B no fio e entre as placas de um capacitor carregando; ambas medem o mesmo efeito magnético, revelando J_{d}.
(c)
J_{d}(t)=4{,}427\times10^{-2}\cos(10^{5}t)\;\mathrm{A/m^{2}}.
(d)
I_{d}(t)=4{,}427\times10^{-3}\cos(10^{5}t)\;\mathrm{A}.

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