Exercício 10. O plano
intercepta o cilindro
em uma elipse.
(a) Encontre equações paramétricas para esta elipse.
(b) Determine equações paramétricas para a reta tangente à elipse no ponto (
).
(a) Encontre equações paramétricas para esta elipse.
(b) Determine equações paramétricas para a reta tangente à elipse no ponto (
Passo 1
O enunciado pede a interseção do cilindro
com o plano
, que é uma elipse, e em seguida a reta tangente a essa elipse no ponto
. Vamos usar parametrização: primeiro parametrizamos o cilindro em
e
, depois forçamos a condição do plano para obter
. Por fim, derivamos para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro
com o parâmetro
:
Passo 3
Como o plano é dado por
, temos
Logo, uma parametrização da elipse é
Passo 4
Para achar a reta tangente no ponto
, determinamos
tal que
ou seja
Passo 5
Calculamos a derivada de
:
Avaliando em
:
Passo 6
A reta tangente no ponto
com vetor diretor
fica
ou em coordenadas:
Resposta
(a) Uma parametrização da elipse é
(b) A reta tangente no ponto
é
isto é,