Exercício 10. O plano y+z=3 intercepta o cilindro x^{2}+y^{2}=5 em uma elipse.
(a) Encontre equações paramétricas para esta elipse.
(b) Determine equações paramétricas para a reta tangente à elipse no ponto ( 1,2,1 ).

Passo 1

O enunciado pede a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=5 com o plano y+z=3, que é uma elipse, e em seguida a reta tangente a essa elipse no ponto (1,2,1). Vamos usar parametrização: primeiro parametrizamos o cilindro em x e y, depois forçamos a condição do plano para obter z. Por fim, derivamos para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro x^{2}+y^{2}=5 com o parâmetro t:
x=\sqrt{5}\cos t, \quad y=\sqrt{5}\sin t.

Passo 3

Como o plano é dado por y+z=3, temos
z=3-y=3-\sqrt{5}\,\sin t.
Logo, uma parametrização da elipse é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{5}\cos t,\;\sqrt{5}\sin t,\;3-\sqrt{5}\sin t\bigr), \quad 0\le t<2\pi.

Passo 4

Para achar a reta tangente no ponto (1,2,1), determinamos t_{0} tal que
\sqrt{5}\cos t_{0}=1, \quad \sqrt{5}\sin t_{0}=2,
ou seja
\cos t_{0}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin t_{0}=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Calculamos a derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sqrt{5}\sin t,\;\sqrt{5}\cos t,\;-\,\sqrt{5}\cos t\bigr).
Avaliando em t_{0}:
\mathbf{r}'(t_{0}) =\bigl(-\sqrt{5}\tfrac{2}{\sqrt{5}},\;\sqrt{5}\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;-\,\sqrt{5}\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr) =(-2,\,1,\,-1).

Passo 6

A reta tangente no ponto (1,2,1) com vetor diretor (-2,1,-1) fica
\mathbf{\ell}(s)=(1,2,1)+s\,(-2,1,-1), \quad s\in\mathbb{R},
ou em coordenadas:
x=1-2s,\quad y=2+s,\quad z=1-s.

Resposta

(a) Uma parametrização da elipse é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{5}\cos t,\;\sqrt{5}\sin t,\;3-\sqrt{5}\sin t\bigr), \quad 0\le t<2\pi.
(b) A reta tangente no ponto (1,2,1) é
\mathbf{\ell}(s)=(1,2,1)+s\,(-2,1,-1), \quad s\in\mathbb{R},
isto é,
x=1-2s,\quad y=2+s,\quad z=1-s.

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