Exercício 9. Considere a hélice \gamma(t)=\left(\cos \left(\frac{\pi t}{2}\right), \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right., t ) e o paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
(a) Qual o ponto de interseção? Com que t ela ocorre?
(b) Qual é o ângulo de interseção entre a hélice e o paraboloide?

Passo 1

O enunciado dá a hélice
\gamma(t)=\bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\,\sin\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\,t\bigr)
e o paraboloide definido por z=x^{2}+y^{2}.
Parte (a) pede o ponto de interseção e o parâmetro t correspondente; parte (b) pede o ângulo de interseção entre a hélice (linha) e o paraboloide (superfície).

Passo 2

Para achar a interseção igualamos a coordenada z da hélice à do paraboloide:
t \;=\; x^{2}+y^{2} \;=\;\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) \;+\;\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) \;=\;1.
Logo t=1. Substituindo em \gamma(t) obtemos o ponto
\gamma(1) =\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{2}),\,\sin(\tfrac{\pi}{2}),\,1\bigr) =(0,1,1).

Passo 3

O vetor tangente à hélice é
\gamma'(t) =\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\sin\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\; \tfrac{\pi}{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\;1\Bigr).
Em t=1 isso dá
T \;=\;\gamma'(1) =\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\,\sin(\tfrac{\pi}{2}),\;\tfrac{\pi}{2}\,\cos(\tfrac{\pi}{2}),\;1\bigr) =\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,0,\,1\bigr).

Passo 4

Para o paraboloide use-se a função F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z. O gradiente \nabla F é normal à superfície:
\nabla F=(2x,\,2y,\,-1).
No ponto (0,1,1) temos
N=\nabla F(0,1,1)=(0,2,-1).

Passo 5

O ângulo \varphi entre a hélice (direção T) e o plano tangente ao paraboloide satisfaz
\cos\varphi =\frac{\bigl|\langle T,N\rangle\bigr|} {\|T\|\;\|N\|}.
Aqui \langle T,N\rangle =(-\tfrac{\pi}{2})\cdot 0 + 0\cdot2 + 1\cdot(-1) = -1, \|T\|=\sqrt{\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}+1}, \|N\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}.
Portanto
\cos\varphi =\frac{1}{\sqrt{5}\,\sqrt{\tfrac{\pi^{2}}{4}+1}} =\frac{2}{\sqrt{5\,(\pi^{2}+4)}}.
E
\varphi =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5\,(\pi^{2}+4)}}\Bigr).

Resposta

(a) O ponto de interseção é (0,1,1) e ocorre em t=1.
(b) O ângulo de interseção é
\varphi =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5\,(\pi^{2}+4)}}\Bigr).

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