Exercício 10. Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & \text { se } x \leq 1 \\\\ 1, & \text { se } 1<x \leq 3 \\\\ 5-2 x, & \text { se } x>3 .\end{array}\right. Determine f^{\prime}(0), f^{\prime}(2) e f^{\prime}(6).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & x\le1,\\\\ 1, & 1<x\le3,\\\\ 5-2x, & x>3, \end{cases}
e pede f'(0), f'(2) e f'(6). O conteúdo aqui é cálculo de derivada em pontos que estão no interior de cada ramo, logo basta derivar a expressão correspondente em cada intervalo.

Passo 2

No intervalo x\le1 temos f(x)=x^2. A derivada é
f'(x)=2x.
Como 0 está nesse intervalo,
f'(0)=2\cdot0=0.

Passo 3

No intervalo 1<x\le3 temos f(x)=1, constante. A derivada de uma constante é zero, portanto
f'(2)=0.

Passo 4

No intervalo x>3 temos f(x)=5-2x. A derivada é
f'(x)=-2.
Como 6>3,
f'(6)=-2.

Resposta

f'(0)=0 f'(2)=0 f'(6)=-2

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