Exercício 4.10. Seja W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y-z=0\right. e \left.y+w=0\right\}. Determine uma base para W e estenda-a para uma base de \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado define o subespaço W\subset\mathbb{R}^{4} por duas equações lineares e pede duas coisas:
Determinar uma base para W.
Estender essa base para uma base de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas (as duas equações que definem W):
x+y-z=0
y+w=0
Portanto, W é o conjunto de vetores (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 que satisfazem essas duas igualdades. O objetivo é parametrizar esses vetores, extrair vetores geradores que sejam linearmente independentes (uma base de W) e depois adicionar vetores para obter uma base de \mathbb{R}^4.
Passo 2
Vamos resolver as duas equações para expressar (x,y,z,w) em função de variáveis livres. As equações são:
x+y-z=0,\qquad y+w=0.
Isolando algumas variáveis:
Da primeira: x = z - y.
Da segunda: w = -y.
Aqui escolhemos y e z como variáveis livres (porque há 2 equações e 4 incógnitas, espera-se 2 graus de liberdade). Então qualquer vetor de W pode ser escrito em função de y e z.
Passo 3
Escrevendo o vetor (x,y,z,w) em termos de y e z:
(x,y,z,w) = (z-y,\; y,\; z,\; -y).
Agora separamos os coeficientes de y e de z para ver uma combinação linear:
A expressão do passo anterior mostra que todo vetor de W\) é combinação linear de
\[v_1 = (-1,1,0,-1)\quad\text{e}\quad v_2 = (1,0,1,0).
Isto prova que \operatorname{span}\{v_1,v_2\}=W. Agora precisamos verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes, para garantir que formam uma base.
Para testar independência, suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Da terceira vem \(\beta=0. Logo \alpha=\beta=0. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes. Como geram W e são independentes, \{v_1,v_2\} é uma base de W.
Observação útil: esperávamos dimensão 2 porque o subespaço é definido por 2 equações lineares independentes em \mathbb{R}^4. A dimensão do complemento é 4-2=2.]
Passo 5
Agora vamos estender \{v_1,v_2\}\) para uma base de \(\mathbb{R}^4\). Precisamos adicionar dois vetores que, juntos com \(v_1,v_2\), sejam linearmente independentes. Uma escolha simples é usar vetores canônicos que não pertencem ao span\(\{v_1,v_2\}\). Por exemplo:
\[e_2=(0,1,0,0),\qquad e_4=(0,0,0,1).
Devemos verificar que \{v_1,v_2,e_2,e_4\} é linearmente independente.
Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
Da terceira equação vem \beta=0\]. Da primeira, com \(\beta=0, vem -\alpha=0\Rightarrow\alpha=0. Da segunda vem \gamma= -\alpha =0. Da quarta vem \delta = \alpha =0. Assim \alpha=\beta=\gamma=\delta=0, logo os quatro vetores são linearmente independentes. Como são 4 vetores independentes em \mathbb{R}^4, formam uma base de \mathbb{R}^4.
Portanto conseguimos estender a base de W para uma base de \mathbb{R}^4.]