Exercício 4.10. Seja W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y-z=0\right. e \left.y+w=0\right\}. Determine uma base para W e estenda-a para uma base de \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subset\mathbb{R}^{4} por duas equações lineares e pede duas coisas:
  • Determinar uma base para W.
  • Estender essa base para uma base de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas (as duas equações que definem W):
x+y-z=0
y+w=0
Portanto, W é o conjunto de vetores (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 que satisfazem essas duas igualdades. O objetivo é parametrizar esses vetores, extrair vetores geradores que sejam linearmente independentes (uma base de W) e depois adicionar vetores para obter uma base de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Vamos resolver as duas equações para expressar (x,y,z,w) em função de variáveis livres. As equações são:
x+y-z=0,\qquad y+w=0.
Isolando algumas variáveis:
  • Da primeira: x = z - y.
  • Da segunda: w = -y.
Aqui escolhemos y e z como variáveis livres (porque há 2 equações e 4 incógnitas, espera-se 2 graus de liberdade). Então qualquer vetor de W pode ser escrito em função de y e z.

Passo 3

Escrevendo o vetor (x,y,z,w) em termos de y e z:
(x,y,z,w) = (z-y,\; y,\; z,\; -y).
Agora separamos os coeficientes de y e de z para ver uma combinação linear:
(z-y,\; y,\; z,\; -y) = y\cdot(-1,1,0,-1) \;+\; z\cdot(1,0,1,0).

Passo 4

A expressão do passo anterior mostra que todo vetor de W\) é combinação linear de \[v_1 = (-1,1,0,-1)\quad\text{e}\quad v_2 = (1,0,1,0).
Isto prova que \operatorname{span}\{v_1,v_2\}=W. Agora precisamos verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes, para garantir que formam uma base.
Para testar independência, suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} -\,\alpha + \beta = 0 &\text{(componente }x)\\[4pt] \alpha + 0\cdot\beta = 0 &\text{(componente }y)\\[4pt] 0\cdot\alpha + \beta = 0 &\text{(componente }z)\\[4pt] -\,\alpha + 0\cdot\beta = 0 &\text{(componente }w) \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Da terceira vem \(\beta=0. Logo \alpha=\beta=0. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes. Como geram W e são independentes, \{v_1,v_2\} é uma base de W.
Observação útil: esperávamos dimensão 2 porque o subespaço é definido por 2 equações lineares independentes em \mathbb{R}^4. A dimensão do complemento é 4-2=2.]

Passo 5

Agora vamos estender \{v_1,v_2\}\) para uma base de \(\mathbb{R}^4\). Precisamos adicionar dois vetores que, juntos com \(v_1,v_2\), sejam linearmente independentes. Uma escolha simples é usar vetores canônicos que não pertencem ao span\(\{v_1,v_2\}\). Por exemplo: \[e_2=(0,1,0,0),\qquad e_4=(0,0,0,1).
Devemos verificar que \{v_1,v_2,e_2,e_4\} é linearmente independente.
Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma e_2 + \delta e_4 = (0,0,0,0).
Escrevendo por componentes:
\begin{cases} -\,\alpha + \beta + 0 + 0 = 0 &\text{(x)}\\[4pt] \alpha + 0 + \gamma + 0 = 0 &\text{(y)}\\[4pt] 0 + \beta + 0 + 0 = 0 &\text{(z)}\\[4pt] -\,\alpha + 0 + 0 + \delta = 0 &\text{(w)} \end{cases}
Da terceira equação vem \beta=0\]. Da primeira, com \(\beta=0, vem -\alpha=0\Rightarrow\alpha=0. Da segunda vem \gamma= -\alpha =0. Da quarta vem \delta = \alpha =0. Assim \alpha=\beta=\gamma=\delta=0, logo os quatro vetores são linearmente independentes. Como são 4 vetores independentes em \mathbb{R}^4, formam uma base de \mathbb{R}^4.
Portanto conseguimos estender a base de W para uma base de \mathbb{R}^4.]

Resposta

\{(-1,1,0,-1),\,(1,0,1,0)\}
\{(-1,1,0,-1),\,(1,0,1,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,0,1)\}

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