Exercício 4.8. Determine a dimensão do espaço vetorial das matrizes antissimétricas de ordem n \times n.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a dimensão do espaço vetorial das matrizes antissimétricas (ou seja, n\times n tais que a transposta é o negativo) de ordem n\times n. As informações relevantes dadas (implícitas no enunciado) são:
Uma matriz A=(a_{ij}) é antissimétrica se vale \;A^{T}=-A\;, isto é, \;a_{ji}=-a_{ij}\; para todos i,j.
Deseja-se a dimensão do espaço vetor formado por todas as matrizes n\times n que satisfazem essa propriedade.
Vou assumir o campo de escalares com característica diferente de 2 (por exemplo \mathbb{R}), pois aí a_{ii}=-a_{ii} implica a_{ii}=0. (Se o campo tivesse característica 2 a resposta seria diferente; esse caso costuma não ser o considerado em exercícios padrão.)
Passo 2
Mostrar que todas as entradas diagonais são 0.
Se A é antissimétrica então, para cada índice i,
Subtraindo os dois lados obtemos 2a_{ii}=0. Como o campo tem característica diferente de 2, segue que a_{ii}=0 para todo i. Portanto toda matriz antissimétrica tem zeros na diagonal.
Passo 3
Entender a liberdade dos elementos fora da diagonal.
Para i<j a entrada a_{ij} pode ser escolhida livremente (qualquer escalar). A entrada simétrica a_{ji} fica automaticamente determinada pela condição antissimétrica: a_{ji}=-a_{ij}. Assim cada par de posições simétricas em relação à diagonal (isto é, o par (i,j) e (j,i) com i<j) contribui com exatamente um grau de liberdade (um parâmetro livre).
Passo 4
Contar quantos graus de liberdade existem.
O número de pares (i,j) com 1\le i<j\le n é igual a \binom{n}{2}. Logo o número de entradas independentes é
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
Isto já sugere que a dimensão do espaço das matrizes antissimétricas é \dfrac{n(n-1)}{2}.
Passo 5
Construir uma base explícita (para mostrar rigorosamente que a dimensão é esse número).
Para cada par com 1\le i<j\le n\) defina a matriz \(B^{(i,j)}\) como a matriz que tem \(1\) na posição \((i,j)\), \(-1\) na posição \((j,i)\) e zeros em todas as outras entradas. Em símbolos:
\[B^{(i,j)}_{kl}= \begin{cases} 1, & (k,l)=(i,j),\\[4pt] -1, & (k,l)=(j,i),\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Cada B^{(i,j)}\] é antissimétrica. Há exatamente \(\binom{n}{2} tais matrizes (uma para cada par i<j).]
Passo 6
Mostrar que as B^{(i,j)} formam uma base (ou seja, são linearmente independentes e geram todo o espaço).
Geram: dada qualquer matriz antissimétrica A=(a_{kl}), podemos escrevê-la como soma
A=\sum_{1\le i<j\le n} a_{ij}\,B^{(i,j)},
porque o coeficiente junto de B^{(i,j)} precisa ser exatamente a_{ij} para reproduzir a entrada (i,j); as entradas (j,i) vêm automaticamente como -a_{ij}, e a diagonal já é zero. Assim qualquer A é combinação linear das B^{(i,j)}.
Linearmente independentes: suponha que
\sum_{1\le i<j\le n} c_{ij}\,B^{(i,j)}=0
(com alguns escalares c_{ij}). Olhando a entrada (i,j) da soma (com i<j) obtém-se c_{ij}=0. Portanto todos os c_{ij} são zero, mostrando independência linear.
Como há \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2} vetores na base, a dimensão do espaço é esse número.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
Para n=2 uma matriz antissimétrica tem forma \begin{pmatrix}0 & a\\\\ -a & 0\end{pmatrix}. Há 1=\dfrac{2\cdot1}{2} grau de liberdade.
Para n=3 a forma geral é
\begin{pmatrix} 0 & a & b\\\\ -a & 0 & c\\\\ -b & -c & 0 \end{pmatrix},
com três parâmetros livres a,b,c; a dimensão é \dfrac{3\cdot2}{2}=3.