Exercício 11. (Apostol seção 14.16 exercício 15) Se
tem uma distribuição normal padrão e
.
a) Mostre que
, se
.
b) Determine
para
e descreva a função de densidade
.
a) Mostre que
b) Determine
Passo 1
O enunciado nos diz que
é uma variável aleatória com distribuição normal padrão e define
. Queremos obter a função de distribuição acumulada de
, isto é
e depois a função densidade
. Para isso, vamos usar a definição de probabilidade de
em termos de
e, em seguida, derivar para achar
.
Passo 2
Para
, temos
Como
é normal padrão, sua densidade é
. Logo,
Fazendo a substituição simétrica em torno de zero,
Portanto, para
,
Passo 3
Para
não existe
tal que
. Logo,
Passo 4
A função densidade
aparece ao derivar
para
. Usando o teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia,
Como
, obtemos para
:
E para
temos
.
Resposta
Para
:
Para
: