Exercício 11. (Apostol seção 14.16 exercício 15) Se X tem uma distribuição normal padrão e Y=X^2.
a) Mostre que FY(t)=2raiz2 pi integral0^raizt e^-u^22 d u, se t >= 0.
b) Determine FY(t) para t<0 e descreva a função de densidade fY.

Passo 1

O enunciado nos diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal padrão e define Y = X^2. Queremos obter a função de distribuição acumulada de Y, isto é
FY(t) = P(Y <= t),
e depois a função densidade fY(t). Para isso, vamos usar a definição de probabilidade de Y em termos de X e, em seguida, derivar para achar fY.

Passo 2

Para t>=0, temos
FY(t) = P(Y<= t) = P(X^2 <= t) = P(-raizt <= X <= raizt)
Como X é normal padrão, sua densidade é varphi(x)=1raiz2pie^-x^2/2. Logo,
P(-raizt <= X <= raizt) = integral-raizt^raizt 1raiz2pie^-x^2/2,dx
Fazendo a substituição simétrica em torno de zero,
integral-raizt^raizt e^-x^2/2,dx = 2integral0^raizt e^-u^2/2,du
Portanto, para t>=0,
FY(t) = 1raiz2pi;2integral0^raizt e^-u^2/2,du = 2raiz2piintegral0^raizt e^-u^2/2,du

Passo 3

Para t<0 não existe xin R tal que x^2<= t. Logo,
FY(t)=0, t<0

Passo 4

A função densidade fY aparece ao derivar FY(t) para t>0. Usando o teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia,
fY(t) = ddtFY(t) = ddtl[2raiz2piintegral0^raizt e^-u^2/2,dur] = 2raiz2pi;e^-(raizt)^2/2;ddt(raizt)
Como ddt(raizt)=12raizt, obtemos para t>0:
fY(t) = 2raiz2pi;e^-t/2;12raizt = 1raiz2pi,t;e^-t/2
E para t<0 temos fY(t)=0.

Resposta

Para t<0:
FY(t)=0, fY(t)=0
Para t>=0:
FY(t) =2raiz2piintegral0^raizt e^-u^2/2,du, fY(t) =1raiz2pi,t;e^-t/2

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