Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em 0,1. Determine a função de distribuição FY e de densidade fY de uma variável aleatória Y se:
Y=3 X+1

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [0,1] (ou seja, fX(x)=1 para 0<= x<=1) e define
Y = 3X + 1
O conteúdo aqui é transformação de variáveis aleatórias por função de distribuição, usando que a transformação é linear e estritamente crescente. Vamos achar primeiro a função de distribuição acumulada FY e depois derivar para obter a densidade fY.

Passo 2

Para yinR,
FY(y)=P(Y<= y)=P(3X+1<= y)=Pl(X<=y-13r)
Como X é uniforme em [0,1], temos:
FY(y)= 0,&y<1, Pl(X<= (y-1)/3r)=dfracy-13,&1<= y<=4, 1,&y>4

Passo 3

A densidade
e nos pontos de quebra ((y=1,4]) podemos atribuir qualquer valor pois são de medida zero.

Resposta

FY(y)= 0,&y<1, dfracy-13,&1<= y<=4, 1,&y>4;
fY(y)= dfrac13,&1<y<4, 0,&caso contrário á

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