Exercício 0.11 Classifique em injetora, sobrejetora ou bijetora a aplicação f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} definida por
f(n)= \begin{cases}\frac{n}{2} & \text { se n é par }, \\ \frac{n+1}{2} & \text { se n é ímpar. }\end{cases}ééí

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) definida por \[f(n)= \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{se \(n é par},\[4pt] \frac{n+1}{2} & se n é ímpar. \end{cases}]
O que pedem: classificar f como injetora, sobrejetora ou bijetora (ou seja, dizer se é injetiva, se é sobrejetiva, e portanto se é bijetiva).
Observação sobre \mathbb{N}: há uma pequena ambiguidade comum sobre se \mathbb{N} inclui 0 ou não. Vou tratar os dois casos rapidamente quando relevante, mas a conclusão principal (se é injetora/sobrejetora) não muda: a propriedade de ser sobrejetora vale em ambos os casos; a falta de injetividade também vale em ambos.]

Passo 2

Definição e ideia para testar injetividade (aula rápida):
  • Uma função f é injetiva se, sempre que \,f(a)=f(b)\,, então necessariamente \,a=b. Em palavras: dois argumentos distintos nunca podem ter a mesma imagem.
  • Método prático: basta encontrar um par a\neq b com f(a)=f(b) para concluir que f não é injetiva.
Agora aplicando isso: calculemos valores simples para ver se há colisões.
f(1)=\frac{1+1}{2}=1.
f(2)=\frac{2}{2}=1.
Aqui temos \,f(1)=1=f(2)\, com 1\neq2. Portanto encontramos dois argumentos distintos com a mesma imagem. Logo, pela definição, f não é injetiva.
Comentário didático: esse é o jeito mais direto de derrubar injetividade na prova — tentar valores pequenos e mostrar uma colisão. Se por acaso você tivesse dificuldade em achar um contraexemplo por tentativa, poderia tentar provar que sempre existem pares diferentes que caem na mesma classe (veremos isso no passo seguinte).

Passo 3

Definição e ideia para testar sobrejetividade (aula rápida):
  • Uma função f:X\to Y é sobrejetiva se, para todo y\in Y, existe pelo menos um x\in X tal que f(x)=y. Em palavras: a imagem de f é todo o conjunto codomínio.
  • Método prático: dado um y genérico, construa (ou mostre) um x tal que f(x)=y.
Aplicando isso ao nosso caso: seja um m\in\mathbb{N} qualquer. Verifiquemos se existe n\in\mathbb{N} com f(n)=m.
Considere n=2m. Esse n é par, então
f(2m)=\frac{2m}{2}=m.
Portanto, para qualquer m\in\mathbb{N} o número 2m\in\mathbb{N} é um pré-imagem que satisfaz f(2m)=m. Assim, todo m\in\mathbb{N} tem pelo menos um pré-imagem — isto mostra que f é sobrejetiva.
Observação sobre a ambiguidade de \mathbb{N}: se \mathbb{N} inclui 0, a construção 2m funciona também para m=0 (pois 2\cdot 0=0 e f(0)=0). Se \mathbb{N} começa em 1, a construção vale para todo m\ge 1, que é exatamente o codomínio. Em ambos os cenários a conclusão de sobrejetividade permanece correta.

Passo 4

Observação extra (padrão de mapeamento) — ajuda a fixar:
Calculemos alguns valores para ver o padrão:
f(1)=1,\quad f(2)=1;\quad f(3)=\frac{3+1}{2}=2,\quad f(4)=\frac{4}{2}=2;
f(5)=3,\quad f(6)=3,\\ \text{etc.}
Vê-se claramente que, para cada m\ge 1, tanto 2m-1 (ímpar) quanto 2m (par) têm imagem m:
f(2m-1)=\frac{2m-1+1}{2}=m,\qquad f(2m)=\frac{2m}{2}=m.
Isso explica didaticamente por que a função é sobrejetora (cada m é atingido) e por que não é injetora (cada valor m tem pelo menos duas pre-imagens distintas 2m-1 e 2m, exceto no caso m=0 se 0 estivesse incluído; mesmo assim, já demos o contraexemplo 1 e 2 que bastam).

Passo 5

Conclusão combinada e explicação final curta:
  • Encontramos 1\neq2 com f(1)=f(2) → não é injetiva.
  • Para todo m\in\mathbb{N} existe n=2m com f(n)=m → é sobrejetiva.
    Logo, f é sobrejetora, não injetora; portanto não é bijetora.

Resposta

Sobrejetora e não injetora (logo, não bijetora).

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