Prove que cada função abaixo é bijetora e determine a sua inversa.
tal que
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que pede:
- Provar que
é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). - Determinar a função inversa
.
Informações relevantes dadas:
- Domínio de
é (não podemos usar porque o denominador ficaria zero). - Contradomínio (ou imagem alvo) é
(o valor está excluído da imagem declarada). - A expressão de
é uma função racional linear-fracionária .
Passo 2
Definição e estratégia para provar injetividade:
Uma função é injetora se valores distintos do domínio levam a valores distintos na imagem. Um modo direto de provar injetividade é assumir que dois pontos do domínio têm a mesma imagem e mostrar que esses pontos devem ser iguais. Vou aplicar isso: suponha que existam com
Uma função é injetora se valores distintos do domínio levam a valores distintos na imagem. Um modo direto de provar injetividade é assumir que dois pontos do domínio têm a mesma imagem e mostrar que esses pontos devem ser iguais. Vou aplicar isso: suponha que existam
A ideia é manipular essa igualdade algebricamente até chegar em
. Ao fazer isso, devo tomar cuidado para não multiplicar por zero; aqui
e
são ambos diferentes de zero porque
estão no domínio.
Passo 3
Prova detalhada da injetividade (passo a passo das contas):
Partindo de
Partindo de
faço a multiplicação em cruz (válida porque
e
):
Agora vou expandir os produtos cuidadosamente:
Note que terminei com termos iguais
em ambos os lados; cancelo esses termos:
Posso somar
aos dois lados para eliminar o
:
Reúno termos com
de um lado e com
do outro; por exemplo, somo
e subtraio
ambos os lados:
mas é mais direto rearranjar:
ou seja
Dividindo por
(número não nulo) obtemos
Isso mostra que, sempre que duas imagens são iguais, os pré-imagens também são iguais; logo
é injetora.
(Comentário amigo: o truque foi a multiplicação em cruz seguida de simplificação — nada mágico, só cuidado com termos iguais que se cancelam.)
Passo 4
Estratégia para provar sobrejetividade (ser sobre):
Uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio
é imagem de algum
no domínio. Para provar isso construtivamente, tomo um valor arbitrário
e resolvo a equação
Uma função
para
. Se a solução
existir, for real e pertencer ao domínio
, então
é realmente atingido por
. Como
, poderemos dividir por
quando aparecer.
Passo 5
Resolvendo a equação para obter o candidato à inversa (contas passo a passo):
Parto de
Parto de
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque buscamos
tal que
):
Expando o lado esquerdo:
Agrupo os termos com
num lado:
Coloco
em evidência no lado esquerdo:
Agora divido ambos os lados por
. Isso é válido porque escolhemos
, logo
. Assim:
Esse
é o pré-imagem buscada de
. Ainda preciso verificar que esse
realmente está no domínio, ou seja, que
. Vamos checar: suponha, para ver se há problema, que
Multiplicando, obtemos
, o que daria
, uma contradição. Portanto não há solução que faça
; assim o
encontrado está em
. Concluímos que para todo
existe
com
. Logo
é sobrejetora.
Passo 6
Concluindo bijetividade e escrevendo explicitamente a inversa; verificação por composição:
Do passo anterior obtemos a expressão do pré-imagem em função de . Isso sugere que a inversa
é dada por
Do passo anterior obtemos a expressão do pré-imagem em função de
É boa prática verificar as composições para se certificar que é mesmo a inversa.
Verificação 1:
. Substituo
em
. Para não alongar demais a notação, faço a simplificação simbólica:
Coloco tudo sobre o mesmo denominador
:
(Aqui usei que
para combinar frações e que as simplificações numéricas levam a
.)
Verificação 2:
. Substituo
na fórmula da inversa:
Colocando tudo sobre o denominador
:
(Usamos
para garantir a validade das operações.) Ambas composições retornam o elemento original, confirmando que a fórmula é a inversa correta.
Portanto
é bijetora e sua inversa é a dada acima.
Resposta
g é bijetora.