Exercício 11 Considere
e
eventos independentes tais que
e
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os seguintes valores.
Dados:
-
. -
. -
e são eventos independentes.
Perguntas (o que devemos calcular):
-
. -
. -
.
Passo 2
Primeiro conceito importante: independência. Dois eventos
e
são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. A consequência prática que usamos aqui é a fórmula
Vou calcular
porque aparece em várias fórmulas abaixo.
Aplicando a fórmula com os números dados:
Agora faço a multiplicação de frações: multiplicamos numeradores e denominadores.
Passo 3
Para calcular
usamos a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
Vou substituir os valores que já temos:
Agora somamos as frações. Primeiro coloque tudo com denominador comum
:
Portanto
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora
. Use a Lei de De Morgan:
Isto diz que o evento “pelo menos um dos complementos ocorre” é o complementar do evento “ambos ocorrem”. Assim a probabilidade é
Substituindo
(do Passo 2),
Passo 5
Finalmente
. Uma maneira simples de ver é decompor
em duas partes disjuntas:
Como são disjuntas, as probabilidades somam:
Desse modo isolamos o que queremos:
Substituindo os valores:
Coloco em denominador comum
:
então