Exercício 11 Considere A e B eventos independentes tais que P(A)=1 / 3 e P(B)=1 / 2. Calcule P(A \cup B), P\left(A^{c} \cup B^{c}\right) e P\left(A^{c} \cap B\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os seguintes valores.
Dados:
  • P(A)=\tfrac{1}{3}.
  • P(B)=\tfrac{1}{2}.
  • A e B são eventos independentes.
Perguntas (o que devemos calcular):
  1. P(A\cup B).
  2. P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr).
  3. P\bigl(A^{c}\cap B\bigr).

Passo 2

Primeiro conceito importante: independência. Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. A consequência prática que usamos aqui é a fórmula
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Vou calcular P(A\cap B) porque aparece em várias fórmulas abaixo.
Aplicando a fórmula com os números dados:
P(A\cap B)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}.
Agora faço a multiplicação de frações: multiplicamos numeradores e denominadores.
P(A\cap B)=\tfrac{1\cdot 1}{3\cdot 2}=\tfrac{1}{6}.

Passo 3

Para calcular P(A\cup B) usamos a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Vou substituir os valores que já temos:
P(A\cup B)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}.
Agora somamos as frações. Primeiro coloque tudo com denominador comum 6:
\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{6},\qquad \tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{6}.
Portanto
P(A\cup B)=\tfrac{2}{6}+\tfrac{3}{6}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{4}{6}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
P(A\cup B)=\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Agora P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr). Use a Lei de De Morgan:
A^{c}\cup B^{c}=(A\cap B)^{c}.
Isto diz que o evento “pelo menos um dos complementos ocorre” é o complementar do evento “ambos ocorrem”. Assim a probabilidade é
P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)=1-P(A\cap B).
Substituindo P(A\cap B)=\tfrac{1}{6} (do Passo 2),
P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)=1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}.

Passo 5

Finalmente P\bigl(A^{c}\cap B\bigr). Uma maneira simples de ver é decompor B em duas partes disjuntas:
B=(A\cap B)\;\dot{\cup}\;(A^{c}\cap B).
Como são disjuntas, as probabilidades somam:
P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B).
Desse modo isolamos o que queremos:
P(A^{c}\cap B)=P(B)-P(A\cap B).
Substituindo os valores:
P(A^{c}\cap B)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}.
Coloco em denominador comum 6:
\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{6},
então
P(A^{c}\cap B)=\tfrac{3}{6}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}.

Resposta

P(A\cup B)=\tfrac{2}{3}
P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)=\tfrac{5}{6}
P\bigl(A^{c}\cap B\bigr)=\tfrac{1}{3}

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