Exercício 11. Cristina vai comemorar o aniversário de 5 anos de seu filho, Pedro, com uma festinha na escola dele. Para montar as sacolinhas surpresa, que as crianças levam para casa, Cristina, que é dona de uma papelaria, colocará os seguintes materiais escolares: lápis, borrachas, apontadores e cartelas de adesivos. Ela verificou que dispunha, em sua papelaria, de 156 lápis, 130 borrachas, 78 apontadores e 52 cartelas de adesivos. Sabendo que foi utilizado todo o material disponível e que foi feito o maior número de sacolinhas, todas com a mesma quantidade de material, pode-se afirmar que:
(a) cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de lápis;
(b) borrachas é igual a quantidade de apontadores mais uma unidade;
(c) lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores.
(d) apontadores é igual a quantidade de cartelas de adesivos mais duas unidades;
(e) cartelas de adesivos é igual a metedade da quantidade de borrachas.
(a) cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de lápis;
(b) borrachas é igual a quantidade de apontadores mais uma unidade;
(c) lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores.
(d) apontadores é igual a quantidade de cartelas de adesivos mais duas unidades;
(e) cartelas de adesivos é igual a metedade da quantidade de borrachas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados (quantidades disponíveis na papelaria):
- lápis:
- borrachas:
- apontadores:
- cartelas de adesivos:
- lápis:
-
Condições do problema:
- Todo o material foi utilizado.
- Foi feito o maior número possível de sacolinhas.
- Todas as sacolinhas têm exatamente a mesma quantidade de cada item (ou seja: mesmo número de lápis por sacolinha, mesmo número de borrachas por sacolinha, etc.).
-
Pergunta:
- Com base nessas informações, entre as alternativas (a) a (e), quais afirmações são verdadeiras?
Passo 2
Entendendo o que significa “maior número possível de sacolinhas com todas iguais” — ideia matemática e método.
- O que isso pede: dividir cada quantidade total em grupos iguais (cada grupo é uma sacolinha), usando todo o material, e maximizar o número de grupos.
- Em linguagem matemática: o número máximo de sacolinhas é o maior inteiro positivo
tal que divide simultaneamente , , e . Esse é o máximo divisor comum (MDC), também chamado de máximo divisor comum ou greatest common divisor (gcd). - Como calcular o MDC? Dois métodos comuns:
- Algoritmo de Euclides (bom para números grandes).
- Fatoração em primos e tomar os fatores comuns com menores expoentes (método direto quando os números são fatoráveis manualmente).
- Vou usar fatoração em primos porque os números aqui se fatoram facilmente e é didático: fatorar cada total em primos, depois pegar os fatores comuns com menores expoentes.
Passo 3
Fatoração em primos de cada quantidade — passo a passo e explicação do porquê.
- Lembrete rápido sobre fatoração: decompor um número em produto de números primos. Ex.:
. Para encontrar o MDC entre vários números, escreve-se cada um como produto de primos e toma-se cada primo com o menor expoente que aparece em todas as fatorações.
Agora fatoro cada total:
-
Para
: -
é divisível por porque é par. . -
é divisível por . . -
é . - Logo
.
-
-
Para
: -
é par: . -
. - Logo
.
-
-
Para
: -
é par: . -
. - Logo
.
-
-
Para
: -
é par: . -
é par: . -
é primo. - Logo
.
-
Resumo das fatorações:
Passo 4
Calcular o MDC a partir das fatorações.
-
Para cada primo que aparece nas fatorações, tomo o menor expoente com que ele aparece em todos os números.
- Primo
: expoentes são (em ), (em ), (em ), (em ). O menor expoente é . Logo contribui . - Primo
: aparece em e com expoente , mas em e não aparece (expoente ). Como não aparece em todos, não entra no MDC. - Primo
: aparece somente em , então não entra. - Primo
: aparece em todos com expoente . Então contribui .
- Primo
-
Assim o MDC é:
Interpretação prática: o maior número de sacolinhas que se pode fazer, usando todo o material e deixando todas iguais, é
.
Passo 5
Calcular quantos itens ficam em cada sacolinha (dividindo cada total por
).
- Lápis por sacolinha:
- Borrachas por sacolinha:
- Apontadores por sacolinha:
- Cartelas de adesivos por sacolinha:
Portanto, cada sacolinha contém
lápis,
borrachas,
apontadores e
cartelas de adesivos.
Passo 6
Verificar cada alternativa usando as quantidades por sacolinha (essas são as quantidades iguais em todas as sacolinhas):
-
(a) “cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de lápis.”
Teste com os valores por sacolinha: cartelase lápis . Um quarto de é , que não é . Logo (a) é falsa. -
(b) “borrachas é igual a quantidade de apontadores mais uma unidade.”
Borrachas, apontadores . . Logo (b) é falsa. -
(c) “lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores.”
Apontadores; dobro é , que é exatamente a quantidade de lápis . Logo (c) é verdadeira. -
(d) “apontadores é igual a quantidade de cartelas de adesivos mais duas unidades.”
Cartelas; . Logo (d) é falsa. -
(e) “cartelas de adesivos é igual a metedade da quantidade de borrachas.”
Metade de borrachasé , que não é . Logo (e) é falsa.
Resposta
(c)