Exercício 11. Cristina vai comemorar o aniversário de 5 anos de seu filho, Pedro, com uma festinha na escola dele. Para montar as sacolinhas surpresa, que as crianças levam para casa, Cristina, que é dona de uma papelaria, colocará os seguintes materiais escolares: lápis, borrachas, apontadores e cartelas de adesivos. Ela verificou que dispunha, em sua papelaria, de 156 lápis, 130 borrachas, 78 apontadores e 52 cartelas de adesivos. Sabendo que foi utilizado todo o material disponível e que foi feito o maior número de sacolinhas, todas com a mesma quantidade de material, pode-se afirmar que:
(a) cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de lápis;
(b) borrachas é igual a quantidade de apontadores mais uma unidade;
(c) lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores.
(d) apontadores é igual a quantidade de cartelas de adesivos mais duas unidades;
(e) cartelas de adesivos é igual a metedade da quantidade de borrachas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (quantidades disponíveis na papelaria):
    • lápis: 156
    • borrachas: 130
    • apontadores: 78
    • cartelas de adesivos: 52
  • Condições do problema:
    • Todo o material foi utilizado.
    • Foi feito o maior número possível de sacolinhas.
    • Todas as sacolinhas têm exatamente a mesma quantidade de cada item (ou seja: mesmo número de lápis por sacolinha, mesmo número de borrachas por sacolinha, etc.).
  • Pergunta:
    • Com base nessas informações, entre as alternativas (a) a (e), quais afirmações são verdadeiras?

Passo 2

Entendendo o que significa “maior número possível de sacolinhas com todas iguais” — ideia matemática e método.
  • O que isso pede: dividir cada quantidade total em grupos iguais (cada grupo é uma sacolinha), usando todo o material, e maximizar o número de grupos.
  • Em linguagem matemática: o número máximo de sacolinhas é o maior inteiro positivo n tal que n divide simultaneamente 156, 130, 78 e 52. Esse n é o máximo divisor comum (MDC), também chamado de máximo divisor comum ou greatest common divisor (gcd).
  • Como calcular o MDC? Dois métodos comuns:
    1. Algoritmo de Euclides (bom para números grandes).
    2. Fatoração em primos e tomar os fatores comuns com menores expoentes (método direto quando os números são fatoráveis manualmente).
  • Vou usar fatoração em primos porque os números aqui se fatoram facilmente e é didático: fatorar cada total em primos, depois pegar os fatores comuns com menores expoentes.

Passo 3

Fatoração em primos de cada quantidade — passo a passo e explicação do porquê.
  • Lembrete rápido sobre fatoração: decompor um número em produto de números primos. Ex.: 12 = 2^2\cdot 3. Para encontrar o MDC entre vários números, escreve-se cada um como produto de primos e toma-se cada primo com o menor expoente que aparece em todas as fatorações.
Agora fatoro cada total:
  • Para 156:
    • 156 é divisível por 2 porque é par. 156\div2=78.
    • 78 é divisível por 2. 78\div2=39.
    • 39 é 3\cdot13.
    • Logo 156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13.
  • Para 130:
    • 130 é par: 130\div2=65.
    • 65 = 5\cdot13.
    • Logo 130 = 2 \cdot 5 \cdot 13.
  • Para 78:
    • 78 é par: 78\div2=39.
    • 39 = 3\cdot13.
    • Logo 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13.
  • Para 52:
    • 52 é par: 52\div2=26.
    • 26 é par: 26\div2=13.
    • 13 é primo.
    • Logo 52 = 2^2 \cdot 13.
Resumo das fatorações:
156 = 2^2\cdot 3 \cdot 13, \qquad 130 = 2\cdot 5 \cdot 13, \qquad 78 = 2\cdot 3 \cdot 13, \qquad 52 = 2^2\cdot 13.

Passo 4

Calcular o MDC a partir das fatorações.
  • Para cada primo que aparece nas fatorações, tomo o menor expoente com que ele aparece em todos os números.
    • Primo 2: expoentes são 2 (em 156), 1 (em 130), 1 (em 78), 2 (em 52). O menor expoente é 1. Logo contribui 2^1.
    • Primo 3: aparece em 156 e 78 com expoente 1, mas em 130 e 52 não aparece (expoente 0). Como não aparece em todos, não entra no MDC.
    • Primo 5: aparece somente em 130, então não entra.
    • Primo 13: aparece em todos com expoente 1. Então contribui 13^1.
  • Assim o MDC é:
\text{MDC} = 2^1 \cdot 13^1 = 2\cdot 13 = 26.
Interpretação prática: o maior número de sacolinhas que se pode fazer, usando todo o material e deixando todas iguais, é 26.

Passo 5

Calcular quantos itens ficam em cada sacolinha (dividindo cada total por 26).
  • Lápis por sacolinha: \frac{156}{26}=6.
  • Borrachas por sacolinha: \frac{130}{26}=5.
  • Apontadores por sacolinha: \frac{78}{26}=3.
  • Cartelas de adesivos por sacolinha: \frac{52}{26}=2.
Portanto, cada sacolinha contém 6 lápis, 5 borrachas, 3 apontadores e 2 cartelas de adesivos.

Passo 6

Verificar cada alternativa usando as quantidades por sacolinha (essas são as quantidades iguais em todas as sacolinhas):
  • (a) “cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de lápis.”
    Teste com os valores por sacolinha: cartelas 2 e lápis 6. Um quarto de 6 é 6\cdot\frac{1}{4}= \frac{6}{4}=1{,}5, que não é 2. Logo (a) é falsa.
  • (b) “borrachas é igual a quantidade de apontadores mais uma unidade.”
    Borrachas 5, apontadores 3. 3+1=4\neq5. Logo (b) é falsa.
  • (c) “lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores.”
    Apontadores 3; dobro é 2\cdot3=6, que é exatamente a quantidade de lápis 6. Logo (c) é verdadeira.
  • (d) “apontadores é igual a quantidade de cartelas de adesivos mais duas unidades.”
    Cartelas 2; 2+2=4\neq3. Logo (d) é falsa.
  • (e) “cartelas de adesivos é igual a metedade da quantidade de borrachas.”
    Metade de borrachas 5 é 5\cdot\frac{1}{2}=2{,}5, que não é 2. Logo (e) é falsa.

Resposta

(c)

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