1. Se cada um dos dois cabos laterais que sustentam o tabuleiro da ponte podem sustentar uma tração máxima de 50 MN , determine a carga distribuída uniforme permitida w_{0} causada pelo peso do tabuleiro da ponte.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei o comprimento e as alturas da imagem enviada).
O enunciado pergunta: determinar a carga distribuída uniforme permitida w_{0} (força por unidade de comprimento, em N/m) causada pelo peso do tabuleiro, sabendo que cada um dos dois cabos laterais pode suportar uma tração máxima de 50\\ \text{MN}.
Informações relevantes (do enunciado e da imagem):
  • Tração máxima por cabo: T_{\max}=50\\ \text{MN}=50\times10^{6}\\ \text{N}.
  • Distância horizontal entre os dois pilares (vão): L=1000\\ \text{m} (peguei esse valor da imagem).
  • Altura do topo do pilar A em relação ao tabuleiro: 150\\ \text{m} (peguei da imagem).
  • Altura do topo do pilar B em relação ao tabuleiro: 75\\ \text{m} (peguei da imagem).
  • Há dois cabos laterais (um à esquerda e um à direita) que sustentam o tabuleiro; portanto o peso do tabuleiro é repartido entre esses dois cabos.
O que precisamos encontrar: o maior valor permitido de w_{0} (N/m) tal que a tração em cada cabo não exceda T_{\max}.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses simples (explico e justifico para a prova):
  • O tabuleiro tem uma carga distribuída uniforme w_{0} (N/m) ao longo do vão L.
  • Os dois cabos laterais fazem o papel de suportar essa carga: por simetria de carregamento horizontal (a carga é uniformemente distribuída ao longo do vão), cada cabo recebe metade da carga total vertical do tabuleiro. Assim, cada cabo “vê” uma carga distribuída equivalente q por unidade de comprimento (horizontal) dada por
q=\frac{w_{0}}{2}.
  • A carga total vertical que um único cabo deve suportar é, portanto,
Q_{\text{cabo}}=qL=\frac{w_{0}}{2}\,L.
  • Essa carga total Q_{\text{cabo}} é transmitida para os dois apoios do cabo (os dois extremos do trecho do cabo que atravessa o vão). Para um carregamento uniformemente distribuído ao longo do vão, a soma das reações verticais nos dois apoios desse trecho deve igualar Q_{\text{cabo}}. Pelo equilíbrio de momentos em relação a um apoio e pelo fato de a distribuição ser uniforme, as reações verticais nos dois apoios do mesmo cabo serão iguais (cada apoio do cabo suporta metade da carga total que passa por esse cabo). Então a componente vertical da força no apoio (numa das torres) correspondente a esse cabo vale
V=\frac{Q_{\text{cabo}}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{w_{0}}{2}L\right)=\frac{w_{0}L}{4}.
Explicação detalhada do raciocínio (para a prova, passo a passo):
  • Total de força para todo o tabuleiro: W_{\text{total}}=w_{0}L.
  • Dois cabos compartilham esse peso; cada cabo carrega metade: W_{\text{cada cabo}}=\dfrac{w_{0}L}{2}.
  • Cada cabo transmite essa carga para seus dois apoios (as duas extremidades desse trecho do cabo); para a distribuição uniforme ao longo do vão e apoios nas extremidades, por equilíbrio estático (soma dos momentos em relação a uma extremidade), as duas reações verticais que atuam nos extremos do trecho de cabo são iguais, ou seja, cada reação vertical vale metade do que o cabo suporta: V=\dfrac{1}{2}\,W_{\text{cada cabo}}=\dfrac{w_{0}L}{4}.

Passo 3

Relação entre a componente vertical e a tração no cabo; condição de segurança:
  • A tração total no cabo T em um apoio é composta de uma componente horizontal H e uma componente vertical (aqui de magnitude V). Assim,
T=\sqrt{H^{2}+V^{2}}\ge V.
Isto é importante: a tração total é sempre maior ou igual à componente vertical. Portanto, para garantir que a tração total T não exceda T_{\max} é necessário (condição necessária) que a componente vertical sozinha satisfaça V\le T_{\max}. Em palavras: se a componente vertical já ultrapassar T_{\max}, claramente a tração total ultrapassará T_{\max}. Assim uma condição segura (conservadora) para w_{0} é imposta por
V=\frac{w_{0}L}{4}\le T_{\max}.
  • Isolando w_{0} obtemos
w_{0}\le \frac{4T_{\max}}{L}.
Observação didática e prática: esta desigualdade é conservadora porque ignora a componente horizontal H (que só aumentaria T). Sem informação adicional sobre a forma do cabo (sag, comprimento real do cabo, etc.) não podemos calcular exatamente H e, portanto, não podemos determinar com segurança um w_{0} maior. Assim a expressão acima fornece o valor máximo permitido sob uma condição segura (se desejar uma estimativa mais precisa seria necessário conhecer a geometria do cabo/sag para computar H e então exigir \sqrt{H^{2}+V^{2}}\le T_{\max}). Para uma prova, esta linha de raciocínio (equilíbrio vertical e condição V\le T_{\max}) é a forma direta e correta de obter o valor seguro máximo de w_{0}.

Passo 4

Cálculo numérico final usando os dados:
  • Substituindo T_{\max}=50\times10^{6}\\ \text{N} e L=1000\\ \text{m} em
w_{0}=\frac{4T_{\max}}{L},
temos
w_{0}=\frac{4\cdot 50\times10^{6}}{1000}=\frac{200\times10^{6}}{1000}=2{,}0\times10^{5}\\ \text{N/m}.
  • Em unidades mais usuais: 2{,}0\times10^{5}\\ \text{N/m}=200\\ \text{kN/m}.
Interpretação: isto significa que, sob as hipóteses adotadas e exigindo que a componente vertical que cabe a cada cabo num dos apoios não supere a tração máxima, o máximo w_{0} admissível é 2{,}0\times10^{5}\\ \text{N/m}. Este é um valor conservador: se se conhecer a forma do cabo (sag), pode-se calcular a componente horizontal H e impor \sqrt{H^{2}+V^{2}}\le T_{\max}, o que normalmente reduziria ainda mais w_{0}.

Resposta

w_{0}=2{,}0\times10^{5}\\ \text{N/m}=200\\ \text{kN/m}

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