- Se cada um dos dois cabos laterais que sustentam o tabuleiro da ponte podem sustentar uma tração máxima de 50 MN , determine a carga distribuída uniforme permitida
causada pelo peso do tabuleiro da ponte.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei o comprimento e as alturas da imagem enviada).
O enunciado pergunta: determinar a carga distribuída uniforme permitida
(força por unidade de comprimento, em N/m) causada pelo peso do tabuleiro, sabendo que cada um dos dois cabos laterais pode suportar uma tração máxima de
.
Informações relevantes (do enunciado e da imagem):
- Tração máxima por cabo:
. - Distância horizontal entre os dois pilares (vão):
(peguei esse valor da imagem). - Altura do topo do pilar A em relação ao tabuleiro:
(peguei da imagem). - Altura do topo do pilar B em relação ao tabuleiro:
(peguei da imagem). - Há dois cabos laterais (um à esquerda e um à direita) que sustentam o tabuleiro; portanto o peso do tabuleiro é repartido entre esses dois cabos.
O que precisamos encontrar: o maior valor permitido de
(N/m) tal que a tração em cada cabo não exceda
.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses simples (explico e justifico para a prova):
- O tabuleiro tem uma carga distribuída uniforme
(N/m) ao longo do vão . - Os dois cabos laterais fazem o papel de suportar essa carga: por simetria de carregamento horizontal (a carga é uniformemente distribuída ao longo do vão), cada cabo recebe metade da carga total vertical do tabuleiro. Assim, cada cabo “vê” uma carga distribuída equivalente
por unidade de comprimento (horizontal) dada por
- A carga total vertical que um único cabo deve suportar é, portanto,
- Essa carga total
é transmitida para os dois apoios do cabo (os dois extremos do trecho do cabo que atravessa o vão). Para um carregamento uniformemente distribuído ao longo do vão, a soma das reações verticais nos dois apoios desse trecho deve igualar . Pelo equilíbrio de momentos em relação a um apoio e pelo fato de a distribuição ser uniforme, as reações verticais nos dois apoios do mesmo cabo serão iguais (cada apoio do cabo suporta metade da carga total que passa por esse cabo). Então a componente vertical da força no apoio (numa das torres) correspondente a esse cabo vale
Explicação detalhada do raciocínio (para a prova, passo a passo):
- Total de força para todo o tabuleiro:
. - Dois cabos compartilham esse peso; cada cabo carrega metade:
. - Cada cabo transmite essa carga para seus dois apoios (as duas extremidades desse trecho do cabo); para a distribuição uniforme ao longo do vão e apoios nas extremidades, por equilíbrio estático (soma dos momentos em relação a uma extremidade), as duas reações verticais que atuam nos extremos do trecho de cabo são iguais, ou seja, cada reação vertical vale metade do que o cabo suporta:
.
Passo 3
Relação entre a componente vertical e a tração no cabo; condição de segurança:
- A tração total no cabo
em um apoio é composta de uma componente horizontal e uma componente vertical (aqui de magnitude ). Assim,
Isto é importante: a tração total é sempre maior ou igual à componente vertical. Portanto, para garantir que a tração total
não exceda
é necessário (condição necessária) que a componente vertical sozinha satisfaça
. Em palavras: se a componente vertical já ultrapassar
, claramente a tração total ultrapassará
. Assim uma condição segura (conservadora) para
é imposta por
- Isolando
obtemos
Observação didática e prática: esta desigualdade é conservadora porque ignora a componente horizontal
(que só aumentaria
). Sem informação adicional sobre a forma do cabo (sag, comprimento real do cabo, etc.) não podemos calcular exatamente
e, portanto, não podemos determinar com segurança um
maior. Assim a expressão acima fornece o valor máximo permitido sob uma condição segura (se desejar uma estimativa mais precisa seria necessário conhecer a geometria do cabo/sag para computar
e então exigir
). Para uma prova, esta linha de raciocínio (equilíbrio vertical e condição
) é a forma direta e correta de obter o valor seguro máximo de
.
Passo 4
Cálculo numérico final usando os dados:
- Substituindo
e em
temos
- Em unidades mais usuais:
Interpretação: isto significa que, sob as hipóteses adotadas e exigindo que a componente vertical que cabe a cada cabo num dos apoios não supere a tração máxima, o máximo
admissível é
. Este é um valor conservador: se se conhecer a forma do cabo (sag), pode-se calcular a componente horizontal
e impor
, o que normalmente reduziria ainda mais
.