Exercício 11. Encontre as inversas de
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 5 \\\\ 1 & 3 & 7 \end{array}\right), \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede as matrizes inversas de
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 5\\\\ 1 & 3 & 7 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o método de Gauss–Jordan para inverter matrizes: montamos a matriz aumentada \,[M\mid I], aplicamos operações elementares até obter [I\mid M^{-1}].

Passo 2

Invertemos A. Montamos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
e zeramos as entradas abaixo de a_{11}:
\,R_2\gets R_2 - R_1, \,R_3\gets R_3 - R_1,
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 5 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Depois, zeramos a coluna 2 abaixo do pivô:
\,R_3\gets R_3 - 2\,R_2, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Continuamos o Gauss–Jordan em A:
multiplicamos R_3 por -1 para ter pivô 1,
então
\,R_2\gets R_2 - 3\,R_3 e \,R_1\gets R_1 - 2\,R_3,
seguido de
\,R_1\gets R_1 - R_2.
Ao final chegamos a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -5 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right].
Logo
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & -5 & 3\\\\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Invertemos B de modo análogo. Iniciamos com
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Zeramos abaixo de b_{11}: \,R_3\gets R_3 - R_1;
depois zeramos acima e abaixo de b_{22}:
\,R_1\gets R_1 + R_2, \,R_3\gets R_3 - 4\,R_2;
por fim zeramos acima de b_{33}: \,R_2\gets R_2 + R_3.
O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -4 & 1 \end{array}\right],
logo
B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1 & -3 & 1\\\\ -1 & -4 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & -5 & 3\\\\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1 & -3 & 1\\\\ -1 & -4 & 1 \end{pmatrix}.

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