Exercício 11 (Estudo de um triângulo) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath} ). Considere-se um triângulo \triangle A B C com vértices de coordenadas A(6,0), B(4,8), C(-4,0).
11.1 Determinar as coordenadas dos ve- 11.4 Calcular o valor de \cos (\widehat{A B C}). tores \overrightarrow{B A} e \overrightarrow{B C}.
11.2 Calcular o produto escalar \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}. 11.5 Calcular a área do triângulo \triangle A B C.
11.3 Calcular as normas dos vetores \overrightarrow{B A} e \overrightarrow{B C}.
11.6 Calcular o valor de \operatorname{sen}(\widehat{A B C}).

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo \triangle ABC cujos vértices têm coordenadas A(6,0), B(4,8) e C(-4,0). Precisamos:
  1. Determinar \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}.
  2. Calcular o produto escalar \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}.
  3. Calcular as normas \|\overrightarrow{BA}\| e \|\overrightarrow{BC}\|.
  4. Encontrar \cos(\widehat{ABC}).
  5. Determinar a área de \triangle ABC.
  6. Calcular \operatorname{sen}(\widehat{ABC}).
    Usaremos operações vetoriais em \mathbb R^2: subtração de coordenadas, definição de produto escalar, norma e a fórmula da área via produto vetorial em 2D.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de B:
\overrightarrow{BA} = A - B = (6-4,\;0-8) = (2,\,-8),
\overrightarrow{BC} = C - B = (-4-4,\;0-8) = (-8,\,-8).

Passo 3

O produto escalar de \overrightarrow{BA}=(2,-8) e \overrightarrow{BC}=(-8,-8) é
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =2\cdot(-8)+(-8)\cdot(-8) =-16+64 =48.

Passo 4

As normas são
\|\overrightarrow{BA}\| =\sqrt{2^2+(-8)^2} =\sqrt{4+64} =\sqrt{68} =2\sqrt{17},
\|\overrightarrow{BC}\| =\sqrt{(-8)^2+(-8)^2} =\sqrt{64+64} =\sqrt{128} =8\sqrt{2}.

Passo 5

Pela definição do cosseno do ângulo entre vetores,
\cos(\widehat{ABC}) =\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}} {\|\overrightarrow{BA}\|\;\|\overrightarrow{BC}\|} =\frac{48}{(2\sqrt{17})(8\sqrt{2})} =\frac{48}{16\sqrt{34}} =\frac{3}{\sqrt{34}}.

Passo 6

Em \mathbb R^2, o “produto vetorial” reduzido é o determinante
\overrightarrow{BA}_x\,\overrightarrow{BC}_y -\overrightarrow{BA}_y\,\overrightarrow{BC}_x =2\cdot(-8)-(-8)\cdot(-8) =-16-64 =-80.
A área do triângulo é metade do valor absoluto:
\text{Área}(\triangle ABC) =\tfrac12\bigl|{-80}\bigr| =40.Á

Passo 7

O seno do ângulo vem de
\operatorname{sen}(\widehat{ABC}) =\frac{\bigl|\overrightarrow{BA}_x\,\overrightarrow{BC}_y -\overrightarrow{BA}_y\,\overrightarrow{BC}_x\bigr|} {\|\overrightarrow{BA}\|\;\|\overrightarrow{BC}\|} =\frac{80}{(2\sqrt{17})(8\sqrt{2})} =\frac{80}{16\sqrt{34}} =\frac{5}{\sqrt{34}}.

Resposta

11.1 \overrightarrow{BA}=(2,-8), \overrightarrow{BC}=(-8,-8)
11.2 \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=48
11.3 \|\overrightarrow{BA}\|=2\sqrt{17}, \|\overrightarrow{BC}\|=8\sqrt{2}
11.4 \cos(\widehat{ABC})=\tfrac{3}{\sqrt{34}}
11.5 \text{Área}(\triangle ABC)=40Á
11.6 \operatorname{sen}(\widehat{ABC})=\tfrac{5}{\sqrt{34}}

Exercícios relacionados