Exercício 11 (Estudo de um triângulo) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath} ). Considere-se um triângulo \triangle A B C com vértices de coordenadas A(6,0), B(4,8), C(-4,0).
11.1 Determinar as coordenadas dos ve- 11.4 Calcular o valor de \cos (\widehat{A B C}). tores \overrightarrow{B A} e \overrightarrow{B C}.
11.2 Calcular o produto escalar \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}. 11.5 Calcular a área do triângulo \triangle A B C.
11.3 Calcular as normas dos vetores \overrightarrow{B A} e \overrightarrow{B C}.
11.6 Calcular o valor de \operatorname{sen}(\widehat{A B C}).
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo \triangle ABC cujos vértices têm coordenadas A(6,0), B(4,8) e C(-4,0). Precisamos:
Determinar \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}.
Calcular o produto escalar \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}.
Calcular as normas \|\overrightarrow{BA}\| e \|\overrightarrow{BC}\|.
Encontrar \cos(\widehat{ABC}).
Determinar a área de \triangle ABC.
Calcular \operatorname{sen}(\widehat{ABC}).
Usaremos operações vetoriais em \mathbb R^2: subtração de coordenadas, definição de produto escalar, norma e a fórmula da área via produto vetorial em 2D.
Passo 2
Calculamos os vetores a partir de B:
\overrightarrow{BA} = A - B = (6-4,\;0-8) = (2,\,-8),
\overrightarrow{BC} = C - B = (-4-4,\;0-8) = (-8,\,-8).
Passo 3
O produto escalar de \overrightarrow{BA}=(2,-8) e \overrightarrow{BC}=(-8,-8) é