Exercício 5 (Paralelogramo) Considere-se um paralelogramo A B C D; consideremse os pontos F, I, E, definidos por \overrightarrow{A F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}; I é o ponto médio do segmento [ B C ]; o ponto E é simétrico de I em relação ao ponto B.
5.1 Fazer uma figura para representar a situação descrita.
5.2 Expressar \overrightarrow{C E} em função de \overrightarrow{C B} e justificar.
5.3 Expressar \overrightarrow{D F} e \overrightarrow{D E} em função de \overrightarrow{C B} e de \overrightarrow{A B}; justificar.
5.4 Deduzir que os pontos D, E e F estão alinhados.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um paralelogramo ABCD. Definem-se os pontos \overrightarrow{A F}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{A B}, I como ponto médio de [BC] e E simétrico de I em relação a B.
O conteúdo é geometria vetorial: usar propriedades de paralelogramo DA=BC, DC=AB, ponto médio e simetria para expressar vetores e, por fim, testar alinhamento via proporcionalidade de vetores.

Passo 2

Queremos \overrightarrow{C E}. Como I é ponto médio de [BC], \overrightarrow{B I}=\tfrac12\overrightarrow{B C}.
E E é simétrico de I em relação a B, logo \overrightarrow{B E}=-\overrightarrow{B I}=-\tfrac12\overrightarrow{B C}=\tfrac12\overrightarrow{C B}.
Assim,
\overrightarrow{C E} =\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B E} =\overrightarrow{C B}+\tfrac12\overrightarrow{C B} =\tfrac32\,\overrightarrow{C B}.

Passo 3

Agora \overrightarrow{D F} e \overrightarrow{D E} em função de \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C B}.
– Como DA=BC,
\overrightarrow{D F} =\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A F} =\overrightarrow{B C}+\tfrac23\overrightarrow{A B}.
– Como DC=AB e já temos \overrightarrow{C E}=\tfrac32\overrightarrow{C B},
\overrightarrow{D E} =\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C E} =\overrightarrow{A B}+\tfrac32\overrightarrow{C B}.

Passo 4

Notamos que
\overrightarrow{D F} =\tfrac23\,\overrightarrow{A B}+1\cdot\overrightarrow{C B}, \quad \overrightarrow{D E} =1\cdot\overrightarrow{A B}+\tfrac32\,\overrightarrow{C B} =\tfrac32\Bigl(\tfrac23\,\overrightarrow{A B}+1\cdot\overrightarrow{C B}\Bigr) =\tfrac32\,\overrightarrow{D F}.
Como \overrightarrow{D E} é múltiplo escalar de \overrightarrow{D F}, os vetores têm mesma direção. Logo, os pontos D, F e E são colineares.

Resposta

Os pontos D, E e F estão alinhados.

Exercícios relacionados