Exercício 5 (Paralelogramo) Considere-se um paralelogramo A B C D; consideremse os pontos F, I, E, definidos por \overrightarrow{A F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}; I é o ponto médio do segmento [ B C ]; o ponto E é simétrico de I em relação ao ponto B.
5.1 Fazer uma figura para representar a situação descrita.
5.2 Expressar \overrightarrow{C E} em função de \overrightarrow{C B} e justificar.
5.3 Expressar \overrightarrow{D F} e \overrightarrow{D E} em função de \overrightarrow{C B} e de \overrightarrow{A B}; justificar.
5.4 Deduzir que os pontos D, E e F estão alinhados.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um paralelogramo ABCD. Definem-se os pontos \overrightarrow{A F}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{A B}, I como ponto médio de [BC] e E simétrico de I em relação a B.
O conteúdo é geometria vetorial: usar propriedades de paralelogramo DA=BC, DC=AB, ponto médio e simetria para expressar vetores e, por fim, testar alinhamento via proporcionalidade de vetores.
Passo 2
Queremos \overrightarrow{C E}. Como I é ponto médio de [BC], \overrightarrow{B I}=\tfrac12\overrightarrow{B C}.
E E é simétrico de I em relação a B, logo \overrightarrow{B E}=-\overrightarrow{B I}=-\tfrac12\overrightarrow{B C}=\tfrac12\overrightarrow{C B}.
Assim,