Exercício 2.8 Esboce as características principais do diagrama de Bode assintótico de amplitude (em d B versus rad/s) para a função de transferência:
H(s)=\frac{10}{s+100}
Identifique o ganho CC em dB e a inclinação da reta de alta frequência.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede: esboçar as características principais do diagrama de Bode assintótico de amplitude (em \text{dB} versus rad/s) para a função de transferência dada e identificar (1) o ganho CC em dB e (2) a inclinação da reta de alta frequência.
  • Dado: H(s)=\dfrac{10}{s+100}.

Passo 2

Entendendo o que é o diagrama de Bode de amplitude e a regra assintótica:
  • O diagrama de Bode de amplitude plota em eixo logarítmico de frequência (rad/s) a magnitude em decibéis, definida por
\text{Magnitude em dB} = 20\log_{10}\bigl|H(j\omega)\bigr|.
  • Em aproximação assintótica, cada polo simples contribui com uma queda de -20\\ \text{dB/decade} a partir da sua frequência de canto (polo em \omega_p). Constantes multiplicativas aparecem como um ganho horizontal (constante em dB) nas baixas frequências antes de qualquer canto.

Passo 3

Calcular a resposta em frequência (magnitude) e identificar o polo:
  • Substituindo s=j\omega,
\bigl|H(j\omega)\bigr|=\frac{10}{\sqrt{\omega^{2}+100^{2}}}.
  • Há um único polo em s=-100, então a frequência de canto (ou frequência de quebra) é \omega_{c}=100\\ \text{rad/s}. Para \omega\ll100 o denominador é aproximadamente 100; para \omega\gg100 o denominador é aproximadamente \omega.

Passo 4

Determinar o ganho CC (valor em \omega=0) e convertê-lo para dB:
  • O ganho em \omega=0 é
H(0)=\frac{10}{0+100}=\frac{10}{100}=0{,}1.
  • Em dB isso é
20\log_{10}(0{,}1)=20\cdot(-1)=-20\\ \text{dB}.
  • Comentário didático: \log_{10}(0{,}1)=-1 porque 0{,}1=10^{-1}. Então o ganho CC é -20\\ \text{dB}.

Passo 5

Comportamento assintótico nas duas regiões (baixo e alto \omega):
  • Para \omega \ll 100: \bigl|H(j\omega)\bigr|\approx 0{,}1 e a linha assintótica é horizontal em -20\\ \text{dB}.
  • Para \omega \gg 100: \bigl|H(j\omega)\bigr|\approx \dfrac{10}{\omega}. Em dB,
20\log_{10}\!\left(\frac{10}{\omega}\right)=20-20\log_{10}\omega.
Isto é uma reta com declive de -20\\ \text{dB/decade} (equivalente a -6\\ \text{dB/oitava}).

Passo 6

Valor real no ponto de canto e observação sobre o -3\\ \text{dB}:
  • No ponto \omega=100,
\bigl|H(j100)\bigr|=\frac{10}{\sqrt{100^{2}+100^{2}}}=\frac{10}{100\sqrt{2}}=\frac{0{,}1}{\sqrt{2}}.
  • Em dB:
20\log_{10}\!\left(\frac{0{,}1}{\sqrt{2}}\right)=-20-10\log_{10}2\approx -20-3{,}010\approx -23{,}01\\ \text{dB}.
  • Comentário didático: a curva real no canto fica cerca de -3{,}01\\ \text{dB} abaixo do valor da assíntota de baixa frequência; nas aproximações assintóticas normalmente desenha-se a assíntota horizontal até \omega_{c} e a assíntota inclinada a partir de \omega_{c}.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar o Bode assintótico (passo-a-passo de desenho):
  1. Eixo horizontal: escala log (rad/s). Marcar \omega_{c}=100.
  2. Eixo vertical: magnitude em dB. Marcar a linha horizontal em -20\\ \text{dB}.
  3. Traçar a assíntota horizontal em -20\\ \text{dB} para \omega<100.
  4. A partir de \omega=100 traçar uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/decade} (ou seja, desce 20\\ \text{dB} quando a frequência aumenta 10×).
  5. Opcional: marcar o ponto real em \omega=100 que é aproximadamente -23{,}01\\ \text{dB} para visualizar o desvio de -3\\ \text{dB}.

Passo 8

Resumo das expressões úteis para o esboço:
  • Assíntota baixa frequência (constante):
\text{Magnitude}_{\text{low}}(\omega) = -20\\ \text{dB}.
  • Assíntota alta frequência:
\text{Magnitude}_{\text{high}}(\omega)\approx 20-20\log_{10}\omega\quad(\text{dB}).

Resposta

Ganho CC = -20\\ \text{dB}
Inclinação da reta de alta frequência = -20\\ \text{dB/decade} (equivalente a -6\\ \text{dB/octave})

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