Exercício 2.9 Explique, sob a ótica da impedância complexa dos componentes, por que um circuito R L série com a saída obtida sobre o indutor atua como um filtro passa-altas.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique, usando a impedância complexa dos componentes, por que um circuito em série composto por um resistor R e um indutor L, com a saída tomada sobre o indutor, funciona como um filtro passa-altas.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Circuito em série com dois componentes: resistor R e indutor L.
  • A tensão de entrada é V_{\text{in}} aplicada aos terminais série R L.
  • A tensão de saída V_{\text{out}} é a tensão nos terminais do indutor L.
  • Vou trabalhar na representação de regime harmônico (fasores) usando frequência angular \omega.

Passo 2

Entender a impedância complexa dos componentes (a teoria mínima necessária, explicada devagar).
  • Impedância é a “oposição” que um componente oferece a uma corrente alternada e generaliza a resistência para sinais senoidais. Em regime senoidal, podemos representar tensões e correntes por fasores e substituir cada componente por sua impedância complexa.
  • Para o resistor vale sempre
Z_R = R,
ou seja, número real que não depende de \omega.
  • Para o indutor, a relação tensão-corrente no domínio do tempo é v_L(t) = L\,\dfrac{di}{dt}. Ao passar para o domínio dos fasores (derivada vira multiplicação por j\omega), a impedância do indutor é
Z_L = j\omega L,
onde j é a unidade imaginária (representa um defasamento de 90^\circ) e \omega é a frequência angular da senóide ( \omega=2\pi f).
Comentário intuitivo: conforme \omega aumenta, |Z_L|=\omega L aumenta — o indutor fica “mais resistente” para sinais de alta frequência; para \omega pequeno, |Z_L| é pequeno — o indutor se comporta quase como curto para baixas frequências.

Passo 3

Aplicar o divisor de tensão em termos de impedâncias para obter a função de transferência (resolução passo a passo).
  • No circuito série a corrente é a mesma em R e L. Pelo divisor de tensão, a fração de V_{\text{in}} que cai sobre L é
\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{Z_L}{Z_R+Z_L}.
  • Substituindo Z_R e Z_L:
H(j\omega)=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{j\omega L}{R + j\omega L}.
Essa expressão é a função de transferência em termos de \omega. No exame, esse é o passo-chave: escrever as impedâncias e usar o divisor de tensão.

Passo 4

Calcular o módulo da função de transferência e simplificar (passo a passo das contas).
  • O módulo do numerador |j\omega L| é \omega L. O módulo do denominador |R + j\omega L| é \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}. Assim
|H(j\omega)|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}.
  • Esse resultado já mostra como a amplitude da saída depende de \omega.

Passo 5

Analisar os extremos de frequência para concluir que é passa-altas.
  • Comportamento em baixas frequências: quando \omega\to 0,
|H(j\omega)|\approx \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + 0}}=\frac{\omega L}{R}\longrightarrow 0.
Portanto sinais de baixa frequência são fortemente atenuados (saída próxima de zero).
  • Comportamento em altas frequências: quando \omega\to\infty,
|H(j\omega)|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}\longrightarrow 1.
Portanto sinais de alta frequência passam praticamente sem atenuação (saída próxima da entrada).
Conclusão: como a transmissão aumenta com a frequência, o circuito é um filtro passa-altas.

Passo 6

Determinar a frequência de corte (como fazer no exame).
  • A frequência angular de corte \omega_c é tomada onde a amplitude cai a 1/\sqrt{2} do valor em altas frequências (ponto -3 dB). Então impõe-se
\frac{|H(j\omega_c)|^2}{1^2}=\frac{(\omega_c L)^2}{R^2 + (\omega_c L)^2}=\frac{1}{2}.
  • Resolvendo:
(\omega_c L)^2 = R^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_c = \frac{R}{L}.
  • Em frequência em hertz:
f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{R}{2\pi L}.
Dica prática: memorizar \omega_c=R/L para um RL série com saída no indutor.

Passo 7

Fase da função de transferência (interpretação e limites).
  • Podemos calcular a fase \varphi(\omega)=\arg H(j\omega). Uma maneira direta é escrever H em forma real/imag:
H(j\omega)=\frac{j\omega L}{R + j\omega L}=\frac{( \omega L)^2}{R^2+(\omega L)^2} + j\frac{\omega L R}{R^2+(\omega L)^2}.
  • O ângulo é
\varphi(\omega)=\arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}H}{\operatorname{Re}H}\right)=\arctan\!\left(\frac{R}{\omega L}\right).
  • Limites: \omega\to 0 \Rightarrow \varphi\to \arctan(\infty)=\tfrac{\pi}{2} (saída defasada +90° em relação à entrada), e \omega\to\infty \Rightarrow \varphi\to 0 (fase tende a zero). Em prova, mencionar a tendência da fase ajuda a completar a interpretação do comportamento em frequência.

Passo 8

Interpretação física simples e dica de prova (resumo para memorizar).
  • Física curta e intuitiva: a impedância do indutor cresce com a frequência ( |Z_L|=\omega L). Para baixas frequências o indutor é quase curto-circuito, então a maior parte da tensão cai no resistor e pouco vai para a saída no indutor. Para altas frequências o indutor tem grande impedância, então a maior parte da tensão de entrada aparece nele — a saída acompanha a entrada. Por isso o circuito passa altas frequências e rejeita baixas.
  • Na prova: escrever rapidamente Z_R=R, Z_L=j\omega L, aplicar divisor de tensão, obter H(j\omega), mostrar limites \omega\to0 e \omega\to\infty e indicar \omega_c=R/L. Isso é suficiente para justificar que é um passa-altas.

Resposta

H(j\omega)=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{j\omega L}{R + j\omega L}
|H(j\omega)|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}},\quad \lim_{\omega\to0}|H|=0,\quad \lim_{\omega\to\infty}|H|=1
Logo o circuito atua como filtro passa-altas. A frequência angular de corte é \omega_c=\dfrac{R}{L} (e f_c=\dfrac{R}{2\pi L}).

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