Exercício 2.9 Explique, sob a ótica da impedância complexa dos componentes, por que um circuito
série com a saída obtida sobre o indutor atua como um filtro passa-altas.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique, usando a impedância complexa dos componentes, por que um circuito em série composto por um resistor
e um indutor
, com a saída tomada sobre o indutor, funciona como um filtro passa-altas.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Circuito em série com dois componentes: resistor
e indutor . - A tensão de entrada é
aplicada aos terminais série – . - A tensão de saída
é a tensão nos terminais do indutor . - Vou trabalhar na representação de regime harmônico (fasores) usando frequência angular
.
Passo 2
Entender a impedância complexa dos componentes (a teoria mínima necessária, explicada devagar).
- Impedância é a “oposição” que um componente oferece a uma corrente alternada e generaliza a resistência para sinais senoidais. Em regime senoidal, podemos representar tensões e correntes por fasores e substituir cada componente por sua impedância complexa.
- Para o resistor vale sempre
ou seja, número real que não depende de
.
- Para o indutor, a relação tensão-corrente no domínio do tempo é
. Ao passar para o domínio dos fasores (derivada vira multiplicação por ), a impedância do indutor é
onde
é a unidade imaginária (representa um defasamento de
) e
é a frequência angular da senóide (
).
Comentário intuitivo: conforme aumenta,
aumenta — o indutor fica “mais resistente” para sinais de alta frequência; para
pequeno,
é pequeno — o indutor se comporta quase como curto para baixas frequências.
Comentário intuitivo: conforme
Passo 3
Aplicar o divisor de tensão em termos de impedâncias para obter a função de transferência (resolução passo a passo).
- No circuito série a corrente é a mesma em
e . Pelo divisor de tensão, a fração de que cai sobre é
- Substituindo
e :
Essa expressão é a função de transferência em termos de
. No exame, esse é o passo-chave: escrever as impedâncias e usar o divisor de tensão.
Passo 4
Calcular o módulo da função de transferência e simplificar (passo a passo das contas).
- O módulo do numerador
é . O módulo do denominador é . Assim
- Esse resultado já mostra como a amplitude da saída depende de
.
Passo 5
Analisar os extremos de frequência para concluir que é passa-altas.
- Comportamento em baixas frequências: quando
,
Portanto sinais de baixa frequência são fortemente atenuados (saída próxima de zero).
- Comportamento em altas frequências: quando
,
Portanto sinais de alta frequência passam praticamente sem atenuação (saída próxima da entrada).
Conclusão: como a transmissão aumenta com a frequência, o circuito é um filtro passa-altas.
Conclusão: como a transmissão aumenta com a frequência, o circuito é um filtro passa-altas.
Passo 6
Determinar a frequência de corte (como fazer no exame).
- A frequência angular de corte
é tomada onde a amplitude cai a do valor em altas frequências (ponto -3 dB). Então impõe-se
- Resolvendo:
- Em frequência em hertz:
Dica prática: memorizar
para um RL série com saída no indutor.
Passo 7
Fase da função de transferência (interpretação e limites).
- Podemos calcular a fase
. Uma maneira direta é escrever em forma real/imag:
- O ângulo é
- Limites:
(saída defasada +90° em relação à entrada), e (fase tende a zero). Em prova, mencionar a tendência da fase ajuda a completar a interpretação do comportamento em frequência.
Passo 8
Interpretação física simples e dica de prova (resumo para memorizar).
- Física curta e intuitiva: a impedância do indutor cresce com a frequência (
). Para baixas frequências o indutor é quase curto-circuito, então a maior parte da tensão cai no resistor e pouco vai para a saída no indutor. Para altas frequências o indutor tem grande impedância, então a maior parte da tensão de entrada aparece nele — a saída acompanha a entrada. Por isso o circuito passa altas frequências e rejeita baixas. - Na prova: escrever rapidamente
, , aplicar divisor de tensão, obter , mostrar limites e e indicar . Isso é suficiente para justificar que é um passa-altas.
Resposta
Logo o circuito atua como filtro passa-altas. A frequência angular de corte é
(e
).