Exercício 0.11 Mostre por indução que n^{3}-n é múltiplo de 6 , para todo n \in \mathbb{N} com n \geq 1.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por indução em n, que a expressão
n^3 - n
é múltiplo de 6 para todo n\in\mathbb{N} com n\ge1. Vamos usar o princípio da indução matemática: primeiro mostramos o caso base em n=1 e depois provamos que, se vale para um k, vale também para k+1.
Passo 2
Caso base n=1: calculamos
1^3 - 1 = 1 - 1 = 0.
Como 0 é múltiplo de qualquer inteiro, em particular de 6, o caso base está verificado.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha a hipótese indutiva, isto é, que