Exercício 0.11 Mostre por indução que n^{3}-n é múltiplo de 6 , para todo n \in \mathbb{N} com n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução em n, que a expressão
n^3 - n
é múltiplo de 6 para todo n\in\mathbb{N} com n\ge1. Vamos usar o princípio da indução matemática: primeiro mostramos o caso base em n=1 e depois provamos que, se vale para um k, vale também para k+1.

Passo 2

Caso base n=1: calculamos
1^3 - 1 = 1 - 1 = 0.
Como 0 é múltiplo de qualquer inteiro, em particular de 6, o caso base está verificado.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha a hipótese indutiva, isto é, que
k^3 - k
seja múltiplo de 6. Precisamos mostrar que
(k+1)^3 - (k+1)
também é múltiplo de 6.

Passo 4

Expandimos a expressão para k+1:
(k+1)^3 - (k+1) = \bigl(k^3 + 3k^2 + 3k + 1\bigr) - k - 1 = \bigl(k^3 - k\bigr) + 3k^2 + 3k.
Reescrevendo,
(k+1)^3 - (k+1) = \underbrace{k^3 - k}_{\text{múltiplo de 6 por HI}} + 3k(k+1).ú

Passo 5

Pela hipótese indutiva, k^3 - k é múltiplo de 6. Resta ver que 3k(k+1) também é múltiplo de 6. Como k e k+1 são consecutivos, um deles é par, logo
k(k+1)
é múltiplo de 2. Assim 3k(k+1) é múltiplo de 3\cdot2=6. Somando as duas parcelas, concluímos que
(k+1)^3 - (k+1)
é múltiplo de 6.

Resposta

Portanto, por indução, n^3 - n é múltiplo de 6 para todo n\in\mathbb{N}, n\ge1.

Exercícios relacionados