Exercício 0.9 Mostre que se a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} então
\left|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right| \leq\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right| .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer reais a_{1},a_{2},\dots,a_{n}, vale
\left|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right|\le |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|.
O conteúdo principal é a desigualdade triangular para dois termos e o princípio de indução finita.

Passo 2

Primeiro, provamos a desigualdade triangular no caso de dois termos, ou seja, que para quaisquer x,y\in\mathbb{R} |x+y|\le |x|+|y|.
Para isso notamos que
\bigl(|x|+|y|\bigr)^{2}=(|x|+|y|)^{2}=x^{2}+y^{2}+2|x||y|
e
(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy.
Como sempre |x||y|\ge xy, segue
(|x|+|y|)^{2}-(x+y)^{2} =2\bigl(|x||y|-xy\bigr)\ge0.
Tomando raiz não-negativa em ambos os lados, obtemos
|x+y|\le |x|+|y|.

Passo 3

Agora usamos indução em n.
Base n=1: claramente
|a_{1}| \le |a_{1}|.
Passo de indução: suponha que para certo k\ge1 já valha
\left|\sum_{i=1}^{k}a_{i}\right|\le \sum_{i=1}^{k}|a_{i}|.
Então, usando a desigualdade triangular para dois termos com \sum_{i=1}^{k}a_{i} e a_{k+1}, temos
\left|\sum_{i=1}^{k+1}a_{i}\right| =\left|\Bigl(\sum_{i=1}^{k}a_{i}\Bigr)+a_{k+1}\right| \le \left|\sum_{i=1}^{k}a_{i}\right| + |a_{k+1}| \le \sum_{i=1}^{k}|a_{i}| + |a_{k+1}| = \sum_{i=1}^{k+1}|a_{i}|.
Isso fecha o passo de indução.

Passo 4

Pelo princípio da indução finita, a desigualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\left|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right|\le |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|.

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