Exercício 0.9 Mostre que se
então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer reais
, vale
O conteúdo principal é a desigualdade triangular para dois termos e o princípio de indução finita.
Passo 2
Primeiro, provamos a desigualdade triangular no caso de dois termos, ou seja, que para quaisquer
Para isso notamos que
e
Como sempre
, segue
Tomando raiz não-negativa em ambos os lados, obtemos
Passo 3
Agora usamos indução em
.
Base
: claramente
Passo de indução: suponha que para certo
já valha
Então, usando a desigualdade triangular para dois termos com
e
, temos
Isso fecha o passo de indução.
Passo 4
Pelo princípio da indução finita, a desigualdade vale para todo
.