Exercício 12. (Apostol seção 1.13 exercício 15.) Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno lang<=,rang<= : V times V C. Mostre que as seguintes identidades são válidas:
lang<= u, a v+b wrang<==baralang<= u, vrang<=+barblang<= u, wrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial complexo V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= que é linear no primeiro argumento e satisfaz a hermiticidade lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<=, vale
lang<= u,,a,v + b,wrang<= = a,lang<= u,vrang<= ;+;b,lang<= u,wrang<=
Esse é o conteúdo de sesquilinearidade conjugada no segundo argumento.

Passo 2

Pela hermiticidade do produto interno, para quaisquer u,xin V temos
lang<= u,xrang<= = lang<= x,urang<=
Em particular, tomando x = a,v + b,w,
lang<= u,,a,v + b,wrang<= = lang<= a,v + b,w,,urang<=

Passo 3

Agora usamos a linearidade no primeiro argumento: para quaisquer escalares a,b e vetores v,w,uin V vale
lang<= a,v + b,w,,urang<= = a,lang<= v,urang<= + b,lang<= w,urang<=
Substituindo em cima e aplicando conjugação, obtemos
lang<= u,,a,v + b,wrang<= = a,lang<= v,urang<= + b,lang<= w,urang<= = a,lang<= v,urang<= ;+;b,lang<= w,urang<= = a,lang<= u,vrang<= ;+;b,lang<= u,wrang<=

Resposta

lang<= u,,a,v + b,wrang<= = a,lang<= u,vrang<= + b,lang<= u,wrang<=

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