Exercício 12. (Apostol seção 1.13 exercício 15.) Seja
um espaço vetorial complexo com produto interno
. Mostre que as seguintes identidades são válidas:
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço vetorial sobre
com produto interno
. Queremos provar a identidade de compatibilidade com escalares
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais do produto interno em espaço complexo:
- linearidade no primeiro argumento, isto é, para todo
e
. - conjugado da linearidade no segundo argumento (antilinearidade), ou seja, para todo
e
.
Passo 2
Aplicamos a linearidade no primeiro argumento com
para obter
Passo 3
Agora usamos a antilinearidade no segundo argumento para o mesmo par
:
Passo 4
Substituindo o resultado do Passo 3 na expressão obtida no Passo 2, conclui-se