Exercício 12. (Apostol seção 1.13 exercício 15.) Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno lang<=,rang<= : V times V C. Mostre que as seguintes identidades são válidas:
lang<= a u, b vrang<==a barblang<= u, vrang<=.

Passo 1

O enunciado afirma que V é um espaço vetorial sobre C com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. Queremos provar a identidade de compatibilidade com escalares
lang<= a,u,;b,vrang<= ;=; a,b,lang<= u,vrang<=
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais do produto interno em espaço complexo:
  1. linearidade no primeiro argumento, isto é, para todo ainC e u,u',vin V
    lang<= a,u+u',,vrang<= = a,lang<= u,vrang<= + lang<= u',vrang<=.
  2. conjugado da linearidade no segundo argumento (antilinearidade), ou seja, para todo binC e u,vin V
    lang<= u,,b,vrang<= = b,lang<= u,vrang<=.

Passo 2

Aplicamos a linearidade no primeiro argumento com u'!=0 para obter
lang<= a,u,;b,vrang<= ;=; a,lang<= u,;b,vrang<=

Passo 3

Agora usamos a antilinearidade no segundo argumento para o mesmo par (u,b,v):
lang<= u,;b,vrang<= ;=;b,lang<= u,vrang<=

Passo 4

Substituindo o resultado do Passo 3 na expressão obtida no Passo 2, conclui-se
lang<= a,u,;b,vrang<= ;=; a,l(b,lang<= u,vrang<=r) ;=;a,b,lang<= u,vrang<=

Resposta

lang<= a,u,;b,vrang<= = a,b,lang<= u,vrang<=.

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