Exercício 4.12.1 Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
\int \operatorname{sen}(x) \ln (\cos (x)) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos o produto de uma função algebraica em logaritmo e uma função trigonométrica.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
vamos definir de modo conveniente
u = \ln\bigl(\cos(x)\bigr), \quad dv = \sin(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx = -\tan(x)\,dx,
v = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int \sin(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \bigl(-\cos(x)\bigr)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr) \;-\;\int\bigl(-\cos(x)\bigr)\,\bigl(-\tan(x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Dentro da segunda integral, note que
(-\cos(x))\,( -\tan(x)) = \cos(x)\,\tan(x) = \cos(x)\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x).
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\int \sin(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx = -\cos(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr) \;-\;\int \sin(x)\,dx.
E \displaystyle \int \sin(x)\,dx = -\cos(x), de modo que
\int \sin(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx = -\cos(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr) - \bigl(-\cos(x)\bigr) = -\cos(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr) + \cos(x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \sin(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx = -\cos(x)\,\ln\bigl(\cos(x)\bigr) + \cos(x) + C }.

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