Exercício 4.12.1 Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
\int x \operatorname{sec} (x) \tan (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de que \operatorname{sec}(x)\tan(x) é a derivada de \operatorname{sec}(x), então é natural usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Na integração por partes escolhemos
u = x, \quad dv = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx
pois dv é justamente a forma da derivada de \operatorname{sec}(x).

Passo 3

Calculamos então
du = dx
e
v = \int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx = \operatorname{sec}(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
ficamos com
\int x\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx = x\operatorname{sec}(x) - \int \operatorname{sec}(x)\,dx.

Passo 5

Falta apenas integrar \operatorname{sec}(x). Sabemos que
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + C.

Resposta

\int x\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx = x\operatorname{sec}(x) - \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + C.

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