Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} :
F(x, y)=\left(\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \text { e } \quad G(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) .
Verifique se algum deles é conservativo e, caso positivo, determine uma função potencial;

Passo 1

O enunciado dá dois campos vetoriais definidos em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}:
F(x,y)=\left(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right)
e
G(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Perguntas pedidas: verificar se cada um desses campos é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial (ou seja, uma função escalar cuja gradiente seja o campo). Lista das informações relevantes: domínio comum é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} (o plano com a origem retirada); as componentes P(x,y) e Q(x,y) de cada campo estão dadas explicitamente acima.

Passo 2

O que significa “conservativo” e como verificamos na prática (aula rápida, passo a passo). Um campo vetorial (P(x,y),Q(x,y)) é conservativo se existir uma função escala r \varphi(x,y) tal que
\nabla\varphi(x,y)=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)=(P,Q).
Duas ferramentas úteis:
  1. Se \varphi existe então necessariamente \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} (essa igualdade é a “condição de irrotacionalidade” ou “curl zero” em 2D). Isso é necessário, não sempre suficiente se o domínio não for simplesmente conexo.
  2. Em domínios simplesmente conexos, a condição \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} é também suficiente. Atenção: o domínio dado \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} NÃO é simplesmente conexo (tem um buraco na origem), então teremos de checar com cuidado: verificar curl é um começo, mas pode não bastar para garantir existência global de potencial. Outra estratégia prática é tentar adivinhar um \varphi e derivá-lo para verificar.

Passo 3

Verificação e potencial candidato para F. Observação: F lembra a derivada de uma função logarítmica porque as componentes têm a forma \frac{2x}{x^{2}+y^{2}} e \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}. Vamos tentar
\varphi(x,y)=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big).
Calcule as derivadas parciais de \varphi:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Comparando, vemos que
\nabla\varphi(x,y)=\left(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right)=F(x,y).
Portanto \varphi(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}) é uma potencial para F (definida e diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}), logo F é conservativo nessa região.

Passo 4

Comentário didático sobre o resultado para F. A escolha de \varphi=\ln(x^{2}+y^{2}) veio da observação que a derivada de \ln traz um fator 1/(x^{2}+y^{2}) e a derivada interna dá os 2x,2y. Em provas, esse tipo de reconhecimento (formas como x^{2}+y^{2} e fatores 2x,2y) é uma dica forte para tentar um logaritmo como potencial. Anote que \varphi é uma função bem definida e suave em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, então não há problema em usar como potencial global no domínio dado.

Passo 5

Verificação da condição de curl para G. Para G temos P(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} e Q(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}. Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} com cuidado (mostrando as contas):
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) =-\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora tome a diferença:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\Big(-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\Big) =0.
Logo o curl é zero em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Isso mostra que G é irrotacional, mas, por si só, não garante existência de potencial global por causa do buraco na origem.

Passo 6

Mostre que G NÃO é conservativo globalmente: use uma integral de linha fechada que dá diferente de zero. Considere a circunferência unidade parametrizada por
r(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então r'(t)=(-\sin t,\cos t). Em pontos da circunferência temos x^{2}+y^{2}=1, logo
G(r(t))=\left(-\sin t,\cos t\right).
O produto escalar é
G(r(t))\cdot r'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
A integral de linha ao redor do círculo é
\oint G\cdot dr=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi\neq 0.
Se G fosse conservativo com potencial global \psi, toda integral de linha ao longo de curva fechada deveria ser zero (porque integraria a diferença \psi(\text{final})-\psi(\text{inicial})=0). Como encontramos uma curva fechada cujo integral é 2\pi\neq0, é impossível haver um potencial global em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Portanto G não é conservativo nesse domínio.

Passo 7

Comentário didático e intuição adicional sobre G. Apesar de não haver potencial global, localmente (em qualquer região simplesmente conexa que não envolva dar volta em torno da origem) existe um potencial: G é o gradiente da função “ângulo” \theta=\operatorname{atan2}(y,x) onde essa função é escolhida com um ramo contínuo. Formalmente, se definirmos \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big) em um semiplano onde isso é contínuo, então
\nabla\theta=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)=G.
O problema é que a função ângulo é multivaluada ao redor da origem (tem salto de 2\pi ao contornar a origem), por isso não existe uma \psi contínua e global em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

F é conservativo; uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big).
G não é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} (por exemplo, \displaystyle\oint_{|r|=1}G\cdot dr=2\pi\neq0).

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