• Exercício 4: Considere um circuito R L C composto por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C. Usando a lei de Kirchhoff pode-se mostrar que a a corrente elétrica I(t) no circuito satisfaz à equação
L I^{\prime \prime}(t)+R I^{\prime}(t)+(1 / C) I(t)=E^{\prime}(t), t>0
onde E(t) é a tensão aplicada ao circuito. Suponha, como exemplo, que L=1, R=3 e C=1 / 2. Suponha ainda que E(t) \equiv 12 seja constante.
(a) Obtenha duas soluções da equação na forma exponencial e^{\lambda t}.
(b) Verifique que as soluções acima são linearmente independentes.
(c) Obtenha a solução geral da equação acima.
(d) Determine a solução I(t) que satisfaz I(0)=2 e I^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação
L I''(t)+R I'(t)+\frac{1}{C}I(t)=E'(t),\; t>0,
com L=1, R=3, C=1/2 e E(t)\equiv 12 (tensão constante). Perguntas:
(a) Obter duas soluções da forma exponencial e^{\lambda t}.
(b) Verificar que essas soluções são linearmente independentes.
(c) Obter a solução geral da equação.
(d) Determinar a solução que satisfaz I(0)=2 e I'(0)=1.
Observação: há uma figura do circuito (um circuito série RLC). Usei os valores numéricos informados acima; nada da figura altera os números.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação com os valores dados. Como C=1/2 temos \frac{1}{C}=2. E como E(t)\equiv 12 é constante, sua derivada é E'(t)=0. Substituindo:
I''(t)+3I'(t)+2I(t)=0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Uma técnica padrão para resolver este tipo de equação é tentar soluções da forma
I(t)=e^{\lambda t},
onde \lambda é um número que vamos determinar. Vou explicar por quê: ao substituir I(t)=e^{\lambda t} as derivadas ficam múltiplos de e^{\lambda t} e podemos cancelar esse fator não nulo, obtendo uma equação algébrica para \lambda (a equação característica).

Passo 3

Substituindo I(t)=e^{\lambda t} obtemos:
\lambda^{2}e^{\lambda t}+3\lambda e^{\lambda t}+2 e^{\lambda t}=0.
Como e^{\lambda t}\neq 0 para todo t, dividimos por ele e obtemos a equação característica:
\lambda^{2}+3\lambda+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
\lambda^{2}+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2)=0.
Portanto as raízes são
\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=-2.

Passo 4

Cada valor de \lambda fornece uma solução exponencial da equação diferencial. Assim as duas soluções obtidas são
I_{1}(t)=e^{-t},\qquad I_{2}(t)=e^{-2t}.
Para confirmar que são soluções, basta derivar e substituir: por exemplo, para I_{1} temos I_{1}'=-e^{-t}, I_{1}''=e^{-t} e então
I_{1}''+3I_{1}'+2I_{1}=e^{-t}-3e^{-t}+2e^{-t}=0,
o que mostra que I_{1} satisfaz a equação; análise análoga vale para I_{2}.

Passo 5

Agora verificamos que I_{1} e I_{2} são linearmente independentes. Uma maneira prática é calcular o Wronskiano:
W(t)=\begin{vmatrix} I_{1}(t) & I_{2}(t)\\[4pt] I_{1}'(t) & I_{2}'(t) \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} e^{-t} & e^{-2t}\\[4pt] - e^{-t} & -2 e^{-2t} \end{vmatrix}.
Calculando o determinante:
W(t)=e^{-t}\cdot(-2e^{-2t})-e^{-2t}\cdot(-e^{-t})=-2e^{-3t}+e^{-3t}=-e^{-3t}.
Como -e^{-3t}\neq 0 para todo t, o Wronskiano é não nulo e portanto I_{1} e I_{2} são linearmente independentes. Breve explicação conceitual: para equações lineares de segunda ordem, duas soluções independentes geram toda a família de soluções por combinação linear.]

Passo 6

Pelo teorema da existência e unicidade para equações lineares homogêneas de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
I(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. Aqui não precisamos buscar uma solução particular porque o termo do lado direito é zero (homogênea).

Passo 7

Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1}\) e \(C_{2}\). Primeiro avaliamos \(I(0)\): \[I(0)=C_{1}+C_{2}=2.
Calculamos I'(t) para aplicar I'(0)=1. Derivando I(t):
I'(t)=-C_{1}e^{-t}-2C_{2}e^{-2t},
então
I'(0)=-C_{1}-2C_{2}=1.
Temos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] -C_{1}-2C_{2}=1. \end{cases}
Somando as duas equações (ou resolvendo por eliminação), obtemos:
(C_{1}+C_{2})+(-C_{1}-2C_{2})=2+1 \implies -C_{2}=3 \implies C_{2}=-3.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=2\] vem \(C_{1}+(-3)=2, logo C_{1}=5.]

Passo 8

Portanto a solução que satisfaz as condições iniciais é
I(t)=5e^{-t}-3e^{-2t}.
Podemos rapidamente verificar em t=0: I(0)=5-3=2. A derivada em t=0 é I'(0)=-5+6=1, que coincide com as condições dadas — verificação feita.

Resposta

(a) e^{-t} e e^{-2t}.\n
(b) São linearmente independentes; W(t)=-e^{-3t}\neq 0 para todo t.\n
(c) I(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}.\n
(d) I(t)=5e^{-t}-3e^{-2t}.

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