Exercício 4: Considere um circuito R L C composto por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C. Usando a lei de Kirchhoff pode-se mostrar que a a corrente elétrica I(t) no circuito satisfaz à equação
L I^{\prime \prime}(t)+R I^{\prime}(t)+(1 / C) I(t)=E^{\prime}(t), t>0
onde E(t) é a tensão aplicada ao circuito. Suponha, como exemplo, que L=1, R=3 e C=1 / 2. Suponha ainda que E(t) \equiv 12 seja constante.
(a) Obtenha duas soluções da equação na forma exponencial e^{\lambda t}.
(b) Verifique que as soluções acima são linearmente independentes.
(c) Obtenha a solução geral da equação acima.
(d) Determine a solução I(t) que satisfaz I(0)=2 e I^{\prime}(0)=1.
Passo 1
O enunciado dá a equação
L I''(t)+R I'(t)+\frac{1}{C}I(t)=E'(t),\; t>0,
com L=1, R=3, C=1/2 e E(t)\equiv 12 (tensão constante). Perguntas:
(a) Obter duas soluções da forma exponencial e^{\lambda t}.
(b) Verificar que essas soluções são linearmente independentes.
(c) Obter a solução geral da equação.
(d) Determinar a solução que satisfaz I(0)=2 e I'(0)=1.
Observação: há uma figura do circuito (um circuito série RLC). Usei os valores numéricos informados acima; nada da figura altera os números.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação com os valores dados. Como C=1/2 temos \frac{1}{C}=2. E como E(t)\equiv 12 é constante, sua derivada é E'(t)=0. Substituindo:
I''(t)+3I'(t)+2I(t)=0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Uma técnica padrão para resolver este tipo de equação é tentar soluções da forma
I(t)=e^{\lambda t},
onde \lambda é um número que vamos determinar. Vou explicar por quê: ao substituir I(t)=e^{\lambda t} as derivadas ficam múltiplos de e^{\lambda t} e podemos cancelar esse fator não nulo, obtendo uma equação algébrica para \lambda (a equação característica).
Como -e^{-3t}\neq 0 para todo t, o Wronskiano é não nulo e portanto I_{1} e I_{2} são linearmente independentes. Breve explicação conceitual: para equações lineares de segunda ordem, duas soluções independentes geram toda a família de soluções por combinação linear.]
Passo 6
Pelo teorema da existência e unicidade para equações lineares homogêneas de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
I(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. Aqui não precisamos buscar uma solução particular porque o termo do lado direito é zero (homogênea).
Passo 7
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1}\) e \(C_{2}\). Primeiro avaliamos \(I(0)\):
\[I(0)=C_{1}+C_{2}=2.
Calculamos I'(t) para aplicar I'(0)=1. Derivando I(t):
Substituindo em C_{1}+C_{2}=2\] vem \(C_{1}+(-3)=2, logo C_{1}=5.]
Passo 8
Portanto a solução que satisfaz as condições iniciais é
I(t)=5e^{-t}-3e^{-2t}.
Podemos rapidamente verificar em t=0: I(0)=5-3=2. A derivada em t=0 é I'(0)=-5+6=1, que coincide com as condições dadas — verificação feita.
Resposta
(a) e^{-t} e e^{-2t}.\n
(b) São linearmente independentes; W(t)=-e^{-3t}\neq 0 para todo t.\n
(c) I(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}.\n
(d) I(t)=5e^{-t}-3e^{-2t}.