Exercício 12. Determine a força resultante equivalente do carregamento distribuído e o momento resultante no engaste em O.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos (peguei estes dados da imagem):
  • Pedem a força resultante equivalente do carregamento distribuído ao longo da viga e o momento resultante no engaste em O.
  • A intensidade do carregamento é \displaystyle w(x)=\left(\tfrac{1}{3}x^{3}\right)\\ \text{kN/m} (peguei isto da imagem).
  • A viga tem comprimento 3\\ \text{m} (peguei isto da imagem).
  • O engaste O está na extremidade direita da viga; a coordenada x é medida a partir da extremidade esquerda, logo O corresponde a x=3\\ \text{m} (isto também foi observado na imagem).
  • Observação do que será calculado: a força resultante R é a integral da intensidade w(x) ao longo do comprimento; o momento em O, M_O, é a integral de w(x) vezes a distância da pequena força até O.

Passo 2

Ideia física e matemática (fórmulas básicas) — explicando como proceder na prova:
  • Um carregamento distribuído w(x) (unidade: \text{kN/m}) pode ser substituído por uma força concentrada R igual à área sob a curva w(x) no intervalo. Matematicamente:
R=\int_{0}^{L} w(x)\,dx,
onde L é o comprimento da viga (a área dá uma força em \text{kN}).
  • O momento resultante no engaste O (tomando momentos positivos no sentido escolhido) é a soma (integral) dos momentos das pequenas forças w(x)\,dx em relação a O. Se x mede desde a esquerda e O está em x=L, a distância de um elemento em x até O é (L-x). Assim:
M_O=\int_{0}^{L} w(x)\,(L-x)\,dx.
  • Como checagem útil: a posição do centro de ação (baricentro) da resultante é
\bar{x}=\frac{1}{R}\int_{0}^{L} x\,w(x)\,dx,
e então M_O = R\,(L-\bar{x}). Isso serve para verificar cálculo.

Passo 3

Cálculo da força resultante R. Substituindo w(x)=\tfrac{1}{3}x^{3} e L=3:
R=\int_{0}^{3} \frac{1}{3}x^{3}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{3}\,dx.
Calculando a integral:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},
portanto
R=\frac{1}{3}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3^{4}}{4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{81}{4}=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}.
Convertendo para valor decimal e unidade:
R=\frac{27}{4}\\ \text{kN}=6{,}75\\ \text{kN}.

Passo 4

Cálculo do momento resultante em O por integração direta. Usamos M_O=\int_{0}^{3} w(x)\,(3-x)\,dx:
M_O=\int_{0}^{3} \frac{1}{3}x^{3}(3-x)\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} (3x^{3}-x^{4})\,dx.
Integramos termo a termo:
\int 3x^{3}\,dx=3\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{3x^{4}}{4},\qquad \int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.
Logo
M_O=\frac{1}{3}\left[\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{3} =\frac{1}{3}\left(\frac{3\cdot 3^{4}}{4}-\frac{3^{5}}{5}\right).
Fatorando 3^{4}=81 e 3^{5}=243:
M_O=\frac{1}{3}\left(\frac{243}{4}-\frac{243}{5}\right) =\frac{1}{3}\cdot 243\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right).
Calculando a diferença:
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20},
portanto
M_O=\frac{1}{3}\cdot 243\cdot\frac{1}{20}=\frac{243}{60}=\frac{81}{20}.
Convertendo para decimal e unidade:
M_O=\frac{81}{20}\\ \text{kN}\cdot\text{m}=4{,}05\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 5

Cálculo do centro de ação \bar{x} (checagem) e verificação de consistência:
  • Primeiro calcule \int_{0}^{3} x\,w(x)\,dx:
\int_{0}^{3} x\cdot\frac{1}{3}x^{3}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{4}\,dx =\frac{1}{3}\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{243}{5}=\frac{243}{15}=\frac{81}{5}.
  • Assim
\bar{x}=\frac{1}{R}\int_{0}^{3} x\,w(x)\,dx =\frac{\frac{81}{5}}{\frac{27}{4}}=\frac{81}{5}\cdot\frac{4}{27}=\frac{12}{5}=2{,}4\\ \text{m}
medido a partir da extremidade esquerda. A distância do centro de ação até O é 3-2{,}4=0{,}6\\ \text{m}.
  • Verificação: R(3-\bar{x})=6{,}75\cdot 0{,}6=4{,}05\\ \text{kN}\cdot\text{m}, que coincide com M_O calculado por integração direta. Bom sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

Força resultante equivalente: \;6{,}75\\ \text{kN}
Momento resultante no engaste em O: \;4{,}05\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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