Exercício 12. Determine a força resultante equivalente do carregamento distribuído e o momento resultante no engaste em
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos (peguei estes dados da imagem):
- Pedem a força resultante equivalente do carregamento distribuído ao longo da viga e o momento resultante no engaste em
. - A intensidade do carregamento é
(peguei isto da imagem). - A viga tem comprimento
(peguei isto da imagem). - O engaste
está na extremidade direita da viga; a coordenada é medida a partir da extremidade esquerda, logo corresponde a (isto também foi observado na imagem). - Observação do que será calculado: a força resultante
é a integral da intensidade ao longo do comprimento; o momento em , , é a integral de vezes a distância da pequena força até .
Passo 2
Ideia física e matemática (fórmulas básicas) — explicando como proceder na prova:
- Um carregamento distribuído
(unidade: ) pode ser substituído por uma força concentrada igual à área sob a curva no intervalo. Matematicamente:
onde
é o comprimento da viga (a área dá uma força em
).
- O momento resultante no engaste
(tomando momentos positivos no sentido escolhido) é a soma (integral) dos momentos das pequenas forças em relação a . Se mede desde a esquerda e está em , a distância de um elemento em até é . Assim:
- Como checagem útil: a posição do centro de ação (baricentro) da resultante é
e então
. Isso serve para verificar cálculo.
Passo 3
Cálculo da força resultante
. Substituindo
e
:
Calculando a integral:
portanto
Convertendo para valor decimal e unidade:
Passo 4
Cálculo do momento resultante em
por integração direta. Usamos
:
Integramos termo a termo:
Logo
Fatorando
e
:
Calculando a diferença:
portanto
Convertendo para decimal e unidade:
Passo 5
Cálculo do centro de ação
(checagem) e verificação de consistência:
- Primeiro calcule
:
- Assim
medido a partir da extremidade esquerda. A distância do centro de ação até
é
.
- Verificação:
, que coincide com calculado por integração direta. Bom sinal de que os cálculos estão corretos.
Resposta
Força resultante equivalente:
Momento resultante no engaste em :
Momento resultante no engaste em