Módulo 10-3 Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares
-19 Qual é o módulo (a) da velocidade angular, (b) da aceleração radial e (c) da aceleração tangencial de uma nave espacial que faz uma curva circular com 3220 km de raio a uma velocidade de 29.000 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas claras:
  • Raio da curva: r=3220\\ \text{km}.
  • Velocidade linear (módulo da velocidade tangencial): v=29\,000\\ \text{km/h}.
Perguntas:
(a) Qual o módulo da velocidade angular?
(b) Qual o módulo da aceleração radial (centrípeta)?
(c) Qual o módulo da aceleração tangencial?
Observações imediatas que vamos usar (sem resolver ainda): para movimento circular uniforme/curvilíneo existem as relações básicas entre velocidade linear v, velocidade angular \omega, aceleração radial a_r e aceleração tangencial a_t. Vamos aplicar essas relações após convertermos as unidades para um sistema consistente.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar os dados em unidades do SI para facilitar os cálculos (metros e segundos).
Converter a velocidade de \text{km/h} para \text{m/s}. A relação é: dividir por 3{,}6, porque 1\\ \text{km/h} = \dfrac{1000}{3600}\\ \text{m/s} = \dfrac{1}{3{,}6}\\ \text{m/s}.
v = \frac{29\,000}{3{,}6}\\ \text{m/s} = \frac{29\,000\,000}{3600}\\ \text{m/s} = \frac{72\,500}{9}\\ \text{m/s}\approx 8\,055{,}556\\ \text{m/s}.
Converter o raio de \text{km} para \text{m}:
r = 3220\\ \text{km} = 3{,}22\times10^{6}\\ \text{m}.
Agora temos v e r em unidades SI: v\approx8\,055{,}556\\ \text{m/s} e r=3{,}22\times10^{6}\\ \text{m}.

Passo 3

Velocidade angular: conceito e fórmula.
  • A velocidade angular \omega mede a taxa de variação do ângulo (em radianos por segundo) e relaciona-se com a velocidade linear pela fórmula básica
v = r\,\omega,
onde v é o módulo da velocidade linear (m/s), r é o raio (m) e \omega é a velocidade angular (rad/s). Isolando \omega:
\omega = \frac{v}{r}.
Substituindo os valores em SI:
\omega = \frac{8\,055{,}556}{3{,}22\times10^{6}}\\ \text{s}^{-1}\approx 0{,}00250173\\ \text{s}^{-1}.
Interpretação rápida: isso significa que a nave gira (varia o ângulo) a cerca de 0{,}00250 radianos por segundo. (Se preferir outra unidade: em rad/h seria \omega=\dfrac{29\,000}{3220}\\ \text{h}^{-1}\approx 9{,}0062\\ \text{h}^{-1}, mas o SI usual é \text{s}^{-1}.)

Passo 4

Aceleração radial (centrípeta): conceito e fórmula.
  • A aceleração radial \,a_r aponta para o centro da curva e tem módulo dado por uma das fórmulas equivalentes
a_r = \frac{v^{2}}{r}\quad\text{ou}\quad a_r=\omega^{2}r,
onde a_r tem unidade \text{m/s}^{2}. Vou usar a forma a_r=\dfrac{v^{2}}{r} porque já temos v em \text{m/s}.
Calcular v^{2} e dividir por r. Usando a forma fracionária exata:
v=\frac{72\,500}{9}\\ \text{m/s}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{(72\,500)^{2}}{9^{2}}=\frac{5\,256\,250\,000}{81}\\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}.
Agora
a_r=\frac{v^{2}}{r}=\frac{\dfrac{5\,256\,250\,000}{81}}{3{,}22\times10^{6}}\\ \text{m/s}^{2}\approx 20{,}157\\ \text{m/s}^{2}.
Conferindo com a outra fórmula: \omega^{2}r também dará o mesmo número (verificação mental/possível cálculo rápido).
Uma interpretação prática: isso é cerca de
\frac{a_r}{g}\approx\frac{20{,}157}{9{,}80665}\approx 2{,}06,
ou seja, aproximadamente 2{,}06 vezes a aceleração da gravidade terrestre.

Passo 5

Aceleração tangencial: conceito e conclusão.
  • A aceleração tangencial a_t mede a taxa de variação do módulo da velocidade linear (ou seja, se a rapidez está aumentando ou diminuindo). A relação é
a_t = r\,\alpha,
onde \alpha é a aceleração angular (variação de \omega no tempo). Se a velocidade escalar v é constante ao longo da curva, então não há variação do módulo da velocidade e, portanto, \alpha=0 e
a_t=0.
No enunciado a nave "faz uma curva … a uma velocidade de 29\,000\\ \text{km/h}" — isso é interpretado como velocidade escalar constante durante a curva, logo a aceleração tangencial é nula.

Resposta

(a) \omega \approx 0{,}0025017\\ \text{s}^{-1}
(b) a_r \approx 20{,}16\\ \text{m/s}^{2}
(c) a_t = 0\\ \text{m/s}^{2}

Exercícios relacionados