Módulo 10-3 Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares
-19 Qual é o módulo (a) da velocidade angular, (b) da aceleração radial e (c) da aceleração tangencial de uma nave espacial que faz uma curva circular com 3220 km de raio a uma velocidade de
?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas claras:
- Raio da curva:
. - Velocidade linear (módulo da velocidade tangencial):
.
Perguntas:
(a) Qual o módulo da velocidade angular?
(b) Qual o módulo da aceleração radial (centrípeta)?
(c) Qual o módulo da aceleração tangencial?
(a) Qual o módulo da velocidade angular?
(b) Qual o módulo da aceleração radial (centrípeta)?
(c) Qual o módulo da aceleração tangencial?
Observações imediatas que vamos usar (sem resolver ainda): para movimento circular uniforme/curvilíneo existem as relações básicas entre velocidade linear
, velocidade angular
, aceleração radial
e aceleração tangencial
. Vamos aplicar essas relações após convertermos as unidades para um sistema consistente.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar os dados em unidades do SI para facilitar os cálculos (metros e segundos).
Converter a velocidade de
para
. A relação é: dividir por
, porque
.
Converter o raio de
para
:
Agora temos
e
em unidades SI:
e
.
Passo 3
Velocidade angular: conceito e fórmula.
- A velocidade angular
mede a taxa de variação do ângulo (em radianos por segundo) e relaciona-se com a velocidade linear pela fórmula básica
onde
é o módulo da velocidade linear (m/s),
é o raio (m) e
é a velocidade angular (rad/s). Isolando
:
Substituindo os valores em SI:
Interpretação rápida: isso significa que a nave gira (varia o ângulo) a cerca de
radianos por segundo. (Se preferir outra unidade: em rad/h seria
, mas o SI usual é
.)
Passo 4
Aceleração radial (centrípeta): conceito e fórmula.
- A aceleração radial
aponta para o centro da curva e tem módulo dado por uma das fórmulas equivalentes
onde
tem unidade
. Vou usar a forma
porque já temos
em
.
Calcular
e dividir por
. Usando a forma fracionária exata:
Agora
Conferindo com a outra fórmula:
também dará o mesmo número (verificação mental/possível cálculo rápido).
Uma interpretação prática: isso é cerca de
ou seja, aproximadamente
vezes a aceleração da gravidade terrestre.
Passo 5
Aceleração tangencial: conceito e conclusão.
- A aceleração tangencial
mede a taxa de variação do módulo da velocidade linear (ou seja, se a rapidez está aumentando ou diminuindo). A relação é
onde
é a aceleração angular (variação de
no tempo). Se a velocidade escalar
é constante ao longo da curva, então não há variação do módulo da velocidade e, portanto,
e
No enunciado a nave "faz uma curva … a uma velocidade de
" — isso é interpretado como velocidade escalar constante durante a curva, logo a aceleração tangencial é nula.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)