Módulo 10-3 Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares
- 20 Um objeto gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular de uma reta de referência do objeto é dada por
, em que
está em radianos e
em segundos. Considere um ponto do objeto situado a
do eixo de rotação. Em
, qual é o módulo (a) da componente tangencial e (b) da componente radial da aceleração do ponto?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei tudo claramente):
- A posição angular é
, com em radianos e em segundos. - Um ponto do objeto está a
do eixo de rotação. - Pergunta (a): em
, qual é o módulo da componente tangencial da aceleração do ponto? - Pergunta (b): em
, qual é o módulo da componente radial (centrípeta) da aceleração do ponto?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressupor que você saiba):
- A velocidade angular
é a derivada temporal da posição angular . Em palavras: . Isso mede quão rápido o ângulo está mudando. - A aceleração angular
é a derivada temporal da velocidade angular: . Isso mede quão rápido a velocidade angular está mudando. - Para um ponto a uma distância radial
do eixo: - A componente tangencial da aceleração (relacionada à variação da velocidade angular) tem módulo
Interpretação física: é a aceleração que muda a magnitude da velocidade linear tangencial. - A componente radial (centrípeta) tem módulo
Interpretação física: é a aceleração que aponta para o centro e mantém o movimento curvo (muda a direção da velocidade). - Observação: aqui usaremos unidades do SI: metros (
), segundos ( ), metros por segundo ao quadrado ( ). Converteremos para metros.
Passo 3
Calcular a velocidade angular
. Como
, aplicamos a regra da derivada da exponencial:
Portanto,
Passo 4
Calcular a aceleração angular
. Derivando
obtemos (mesma regra):
Passo 5
Avaliar
e
em
. Como
,
Passo 6
Converter o raio para o SI. O enunciado deu
. Em metros:
Passo 7
Calcular a componente tangencial da aceleração em
usando
.
Substituindo os valores:
Substituindo os valores:
Explicando o cálculo: multiplicou-se o raio em metros pela aceleração angular em
; o resultado tem unidade
.
Passo 8
Calcular a componente radial da aceleração em
usando
.
Primeiro elevar ao quadrado:
Primeiro elevar
Agora multiplicar pelo raio:
Interpretação: essa aceleração aponta para o centro (centrípeta) e depende do quadrado da velocidade angular.
Passo 9
Resumo numérico e verificação rápida de ordens de grandeza:
e
. Os cálculos foram feitos com as unidades do SI e com os valores dados no enunciado.
Resposta
(a)
(b)
(b)