Módulo 10-3 Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares
  • 20 Um objeto gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular de uma reta de referência do objeto é dada por \theta=0,40 e^{2 t}, em que \theta está em radianos e t em segundos. Considere um ponto do objeto situado a
    4,0 \mathrm{~cm} do eixo de rotação. Em t=0, qual é o módulo (a) da componente tangencial e (b) da componente radial da aceleração do ponto?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei tudo claramente):
  • A posição angular é \theta(t)=0,40\,e^{2t}, com \theta em radianos e t em segundos.
  • Um ponto do objeto está a 4,0\\ \mathrm{cm} do eixo de rotação.
  • Pergunta (a): em t=0, qual é o módulo da componente tangencial da aceleração do ponto?
  • Pergunta (b): em t=0, qual é o módulo da componente radial (centrípeta) da aceleração do ponto?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressupor que você saiba):
  • A velocidade angular \omega(t) é a derivada temporal da posição angular \theta(t). Em palavras: \omega=\dfrac{d\theta}{dt}. Isso mede quão rápido o ângulo está mudando.
  • A aceleração angular \alpha(t) é a derivada temporal da velocidade angular: \alpha=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}. Isso mede quão rápido a velocidade angular está mudando.
  • Para um ponto a uma distância radial r do eixo:
    • A componente tangencial da aceleração (relacionada à variação da velocidade angular) tem módulo
    a_{t}=r\,|\alpha|.Interpretação física: é a aceleração que muda a magnitude da velocidade linear tangencial.
    • A componente radial (centrípeta) tem módulo
    a_{r}=r\,\omega^{2}.Interpretação física: é a aceleração que aponta para o centro e mantém o movimento curvo (muda a direção da velocidade).
  • Observação: aqui usaremos unidades do SI: metros ( \mathrm{m}), segundos ( \mathrm{s}), metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m/s^{2}}). Converteremos 4,0\\ \mathrm{cm} para metros.

Passo 3

Calcular a velocidade angular \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}. Como \theta(t)=0,40\,e^{2t}, aplicamos a regra da derivada da exponencial:
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}\big)=2e^{2t}.
Portanto,
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=0,40\cdot 2\,e^{2t}=0,80\,e^{2t}\quad\text{(rad/s).}

Passo 4

Calcular a aceleração angular \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}. Derivando \omega(t)=0,80\,e^{2t} obtemos (mesma regra):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=0,80\cdot 2\,e^{2t}=1,6\,e^{2t}\quad\text{(rad/s}^{2}\text{).}

Passo 5

Avaliar \omega e \alpha em t=0. Como e^{2\cdot 0}=1,
\omega(0)=0,80\cdot 1=0,80\\ \text{rad/s},
\alpha(0)=1,6\cdot 1=1,6\\ \text{rad/s}^{2}.

Passo 6

Converter o raio para o SI. O enunciado deu r=4,0\\ \mathrm{cm}. Em metros:
r=4,0\\ \mathrm{cm}=0,040\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a componente tangencial da aceleração em t=0 usando a_{t}=r\,|\alpha|.
Substituindo os valores:
a_{t}=0,040\cdot 1,6=0,064\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Explicando o cálculo: multiplicou-se o raio em metros pela aceleração angular em \mathrm{rad/s^{2}}; o resultado tem unidade \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Calcular a componente radial da aceleração em t=0 usando a_{r}=r\,\omega^{2}.
Primeiro elevar \omega(0) ao quadrado:
\omega(0)^{2}=(0,80)^{2}=0,64.
Agora multiplicar pelo raio:
a_{r}=0,040\cdot 0,64=0,0256\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: essa aceleração aponta para o centro (centrípeta) e depende do quadrado da velocidade angular.

Passo 9

Resumo numérico e verificação rápida de ordens de grandeza: a_{t}=6,4\times 10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_{r}=2,56\times 10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}. Os cálculos foram feitos com as unidades do SI e com os valores dados no enunciado.

Resposta

(a) a_{t}=0,064\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) a_{r}=0,0256\\ \mathrm{m/s^{2}}

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