Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
h(x)=\sqrt{x-3}, com domínio [3,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de h e especificar domínio e contradomínio adequados. As informações dadas são:
  • A função é h(x)=\sqrt{x-3}.
  • O domínio de h é [3,+\infty).
Portanto a tarefa é: determinar h^{-1} explicitamente e indicar o domínio e o contradomínio corretos da inversa.

Passo 2

Entender o que significa inverter uma função (explicação didática e passo a passo).
  • Uma função h tem inversa h^{-1} quando, para cada valor da imagem existe exatamente um valor no domínio que o produz (ou seja, h é bijetora).
  • A forma prática de achar a inversa: escrevemos y=h(x), trocamos x e y e resolvemos para y. O resultado, escrito então como função de x, é h^{-1}(x).
  • Sempre que aparecer raiz quadrada real \sqrt{\cdot}, lembrar que seu valor é não negativo por definição: \sqrt{t}\ge 0 sempre que a raiz está definida.

Passo 3

Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de h a partir do domínio dado.
  • Como o domínio de h é [3,+\infty), para qualquer x nesse domínio o argumento da raiz é x-3\ge 0, logo a raiz está bem definida.
  • A raiz quadrada produz valores não negativos, então a imagem de h é o conjunto de todos os números \ge 0.
  • Conclui-se que a imagem (o conjunto de valores assumidos por h) é [0,+\infty).

Passo 4

Mostrar que h é bijetora quando considerada com domínio [3,+\infty) e contradomínio [0,+\infty).
  • Injetividade (não colidem imagens): a função x\mapsto \sqrt{x-3} é estritamente crescente no domínio [3,+\infty) (pois a função x-3 é crescente e \sqrt{\cdot} preserva ordem para não negativos). Uma função estritamente crescente é injetora.
  • Sobrejetividade (todas as imagens do contradomínio são atingidas): para qualquer y\in[0,+\infty) existe x=y^2+3\in[3,+\infty) tal que h(x)=\sqrt{(y^2+3)-3}=\sqrt{y^2}=y (como y\ge0). Logo todo y em [0,+\infty) tem um antecedente em [3,+\infty).
  • Portanto h:[3,+\infty)\to[0,+\infty) é bijeção e a inversa existe.

Passo 5

Encontrar a expressão algébrica da inversa (passo a passo de álgebra).
  • Começo escrevendo y=h(x):
y=\sqrt{x-3}.
  • Troco x por y e y por x (procedimento padrão para isolar a variável da inversa):
x=\sqrt{y-3}.
  • Agora resolvo essa equação para y. Primeiro elevo ambos os lados ao quadrado (lembrando que aqui x\ge 0 porque a imagem original é [0,+\infty)):
x^2 = y-3.
  • Isolando y:
y = x^2 + 3.
  • Ao voltar à notação de função, isso dá
h^{-1}(x)=x^2+3.

Passo 6

Determinar domínio e contradomínio adequados da inversa e justificar.
  • Domínio de h^{-1}: deve ser a imagem de h, que encontramos ser [0,+\infty). Então o domínio de h^{-1} é [0,+\infty).
  • Contradomínio (imagem efetiva) de h^{-1}: aplicando h^{-1}(x)=x^2+3 com x\in[0,+\infty) obtemos x^2+3\ge 0+3=3. Portanto a imagem de h^{-1} é [3,+\infty). Faz sentido: é o domínio original de h.

Passo 7

Verificação rápida por composições (para fixar a ideia e garantir que não houve erro).
  • Composição h(h^{-1}(x)) com x\in[0,+\infty):
h(h^{-1}(x))=h(x^2+3)=\sqrt{(x^2+3)-3}=\sqrt{x^2}.
Como x\ge 0 no domínio de h^{-1}, tem-se \sqrt{x^2}=x. Logo h\circ h^{-1} é a identidade em [0,+\infty).
  • Composição h^{-1}(h(x)) com x\in[3,+\infty):
h^{-1}(h(x))=h^{-1}(\sqrt{x-3})=(\sqrt{x-3})^2+3=(x-3)+3=x.
Logo h^{-1}\circ h é a identidade em [3,+\infty).
  • Essas verificações confirmam que a expressão encontrada é realmente a inversa.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para conforto (apenas para treinar).
  • Se x=4 então h(4)=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1. Aplicando a inversa: h^{-1}(1)=1^2+3=4. Volta certinho!

Resposta

h^{-1}(x)=x^{2}+3
Domínio de h^{-1}: [0,+\infty)
Contradomínio (imagem) de h^{-1}: [3,+\infty)

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