Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
, com domínio
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função inversa de
e especificar domínio e contradomínio adequados. As informações dadas são:
- A função é
. - O domínio de
é .
Portanto a tarefa é: determinar
explicitamente e indicar o domínio e o contradomínio corretos da inversa.
Passo 2
Entender o que significa inverter uma função (explicação didática e passo a passo).
- Uma função
tem inversa quando, para cada valor da imagem existe exatamente um valor no domínio que o produz (ou seja, é bijetora). - A forma prática de achar a inversa: escrevemos
, trocamos e e resolvemos para . O resultado, escrito então como função de , é . - Sempre que aparecer raiz quadrada real
, lembrar que seu valor é não negativo por definição: sempre que a raiz está definida.
Passo 3
Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
a partir do domínio dado.
- Como o domínio de
é , para qualquer nesse domínio o argumento da raiz é , logo a raiz está bem definida. - A raiz quadrada produz valores não negativos, então a imagem de
é o conjunto de todos os números . - Conclui-se que a imagem (o conjunto de valores assumidos por
) é .
Passo 4
Mostrar que
é bijetora quando considerada com domínio
e contradomínio
.
- Injetividade (não colidem imagens): a função
é estritamente crescente no domínio (pois a função é crescente e preserva ordem para não negativos). Uma função estritamente crescente é injetora. - Sobrejetividade (todas as imagens do contradomínio são atingidas): para qualquer
existe tal que (como ). Logo todo em tem um antecedente em . - Portanto
é bijeção e a inversa existe.
Passo 5
Encontrar a expressão algébrica da inversa (passo a passo de álgebra).
- Começo escrevendo
:
- Troco
por e por (procedimento padrão para isolar a variável da inversa):
- Agora resolvo essa equação para
. Primeiro elevo ambos os lados ao quadrado (lembrando que aqui porque a imagem original é ):
- Isolando
:
- Ao voltar à notação de função, isso dá
Passo 6
Determinar domínio e contradomínio adequados da inversa e justificar.
- Domínio de
: deve ser a imagem de , que encontramos ser . Então o domínio de é . - Contradomínio (imagem efetiva) de
: aplicando com obtemos . Portanto a imagem de é . Faz sentido: é o domínio original de .
Passo 7
Verificação rápida por composições (para fixar a ideia e garantir que não houve erro).
- Composição
com :
Como
no domínio de
, tem-se
. Logo
é a identidade em
.
- Composição
com :
Logo
é a identidade em
.
- Essas verificações confirmam que a expressão encontrada é realmente a inversa.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para conforto (apenas para treinar).
- Se
então . Aplicando a inversa: . Volta certinho!
Resposta
Domínio de
Contradomínio (imagem) de