Exercício 12. Encontre (integrando) a área do triângulo de vértices ( 3,4 ), ( 2,0 ) e ( 0 , 1).

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo e pede a área (usando integração). Dados fornecidos:
  • Vértice A=(3,4).
  • Vértice B=(2,0).
  • Vértice C=(0,1).
O que é pedido:
  • Calcular a área do triângulo com vértices em A, B e C, usando integração.

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática): uma forma prática de obter a área de uma região plana é integrar fatias verticais. Se numa faixa em x a região está entre uma função inferior y_{\text{inf}}(x) e uma função superior y_{\text{sup}}(x), então a área dessa faixa é a integral da altura y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x) em relação a x. A área total (no caso aqui do triângulo) será
\text{Área}=\int_{x_{\min}}^{x_{\max}} \bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.Á
Neste método é essencial identificar corretamente, para cada x no intervalo, qual é a curva de cima e qual é a curva de baixo, e possivelmente dividir o intervalo em subintervalos onde essa identificação muda.

Passo 3

Encontrei as equações das retas que ligam cada par de vértices (vou achar a equação da forma y=mx+b, mostrando como calcular m e b).
Reta entre C=(0,1) e A=(3,4):
  • Inclinação:
m_{CA}=\frac{4-1}{3-0}=\frac{3}{3}=1.
  • Como passa por (0,1), fica
y_{CA}=1\cdot x+1 \quad\text{ou}\quad y_{CA}=x+1.
Reta entre C=(0,1) e B=(2,0):
  • Inclinação:
m_{CB}=\frac{0-1}{2-0}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Como passa por (0,1), fica
y_{CB}=-\tfrac{1}{2}x+1.
Reta entre B=(2,0) e A=(3,4):
  • Inclinação:
m_{BA}=\frac{4-0}{3-2}=\frac{4}{1}=4.
  • Usando ponto (2,0): 0=4\cdot2+b\Rightarrow b=-8. Logo
y_{BA}=4x-8.
Resumo das retas:
y_{CA}=x+1,\qquad y_{CB}=-\tfrac{1}{2}x+1,\qquad y_{BA}=4x-8.

Passo 4

Determinar para cada intervalo de x qual é a curva superior e qual é a inferior. Os x dos vértices são 0, 2 e 3, então o triângulo ocupa x entre 0 e 3. Observação prática: a aresta que liga C a A ( y_{CA}=x+1) atravessa toda a base em x\in[0,3] e tem valor maior que as outras em parte do intervalo; a aresta que liga C a B vale em x\in[0,2]; a aresta que liga B a A vale em x\in[2,3].
Para decidir quem é cima/baixo, comparo os valores:
No intervalo [0,2] comparo y_{CA}=x+1 com y_{CB}=-\tfrac{1}{2}x+1.
  • Por exemplo em x=1: y_{CA}(1)=2 e y_{CB}(1)=\tfrac{1}{2}. Logo y_{CA}>y_{CB}.
    Assim, em [0,2] temos
y_{\text{sup}}(x)=x+1,\qquad y_{\text{inf}}(x)=-\tfrac{1}{2}x+1.
No intervalo [2,3] comparo y_{CA}=x+1 com y_{BA}=4x-8.
  • Em x=2{,}5: y_{CA}=3{,}5 e y_{BA}=4\cdot2{,}5-8=2. Logo y_{CA}>y_{BA}.
    Assim, em [2,3] temos
y_{\text{sup}}(x)=x+1,\qquad y_{\text{inf}}(x)=4x-8.
Portanto preciso dividir a integral em dois pedaços: de 0 a 2 e de 2 a 3.

Passo 5

Escrevo a área como soma de duas integrais, usando a fórmula do Passo 2 e as funções do Passo 4:
\text{Área}=\int_{0}^{2}\bigl[(x+1)-\bigl(-\tfrac{1}{2}x+1\bigr)\bigr]\,dx+\int_{2}^{3}\bigl[(x+1)-(4x-8)\bigr]\,dx.Á
Simplifico os integrandos:
  • Para x\in[0,2]:
(x+1)-\bigl(-\tfrac{1}{2}x+1\bigr)=x+1+\tfrac{1}{2}x-1=\tfrac{3}{2}x.
  • Para x\in[2,3]:
(x+1)-(4x-8)=x+1-4x+8=-3x+9.
Então
\text{Área}=\int_{0}^{2}\tfrac{3}{2}x\,dx+\int_{2}^{3}(-3x+9)\,dx.Á

Passo 6

Faço as integrais usando antiderivadas básicas (lembrete: \displaystyle\int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2} e \displaystyle\int a x\,dx=a\tfrac{x^{2}}{2}; para polinômios integra-se termo a termo).
Primeira integral:
\int_{0}^{2}\tfrac{3}{2}x\,dx=\tfrac{3}{2}\int_{0}^{2}x\,dx=\tfrac{3}{2}\cdot\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\tfrac{3}{2}\cdot\left(\tfrac{2^{2}}{2}-0\right)=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{2}=\tfrac{3}{2}\cdot2=3.

Passo 7

Segunda integral:
\int_{2}^{3}(-3x+9)\,dx=\left[-\tfrac{3}{2}x^{2}+9x\right]_{2}^{3}.
Avalio a primitiva nos limites:
  • Em x=3:
-\tfrac{3}{2}\cdot 3^{2}+9\cdot3=-\tfrac{3}{2}\cdot9+27=-\tfrac{27}{2}+27=27-\tfrac{27}{2}=\tfrac{27}{2}=13{,}5.
  • Em x=2:
-\tfrac{3}{2}\cdot 2^{2}+9\cdot2=-\tfrac{3}{2}\cdot4+18=-6+18=12.
Diferença:
\tfrac{27}{2}-12=\tfrac{27}{2}-\tfrac{24}{2}=\tfrac{3}{2}=1{,}5.

Passo 8

Somando as duas parcelas:
\text{Área}=3+\tfrac{3}{2}= \tfrac{6}{2}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{2}.Á
Interpretação final rápida: a área do triângulo calculada por somar as fatias verticais deu \tfrac{9}{2}, ou seja 4{,}5.
Força aí — você já pode repetir esse procedimento em outros triângulos: achar retas laterais, identificar top/bottom por intervalo em x, montar integrais e calcular.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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