Exercício 12. Encontre (integrando) a área do triângulo de vértices ( 3,4 ), ( 2,0 ) e ( 0 , 1).
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo e pede a área (usando integração). Dados fornecidos:
- Vértice
. - Vértice
. - Vértice
.
O que é pedido:
- Calcular a área do triângulo com vértices em
, e , usando integração.
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática): uma forma prática de obter a área de uma região plana é integrar fatias verticais. Se numa faixa em
a região está entre uma função inferior
e uma função superior
, então a área dessa faixa é a integral da altura
em relação a
. A área total (no caso aqui do triângulo) será
Neste método é essencial identificar corretamente, para cada
no intervalo, qual é a curva de cima e qual é a curva de baixo, e possivelmente dividir o intervalo em subintervalos onde essa identificação muda.
Passo 3
Encontrei as equações das retas que ligam cada par de vértices (vou achar a equação da forma
, mostrando como calcular
e
).
Reta entre
e
:
- Inclinação:
- Como passa por
, fica
Reta entre
e
:
- Inclinação:
- Como passa por
, fica
Reta entre
e
:
- Inclinação:
- Usando ponto
: . Logo
Resumo das retas:
Passo 4
Determinar para cada intervalo de
qual é a curva superior e qual é a inferior. Os
dos vértices são
,
e
, então o triângulo ocupa
entre
e
. Observação prática: a aresta que liga
a
(
) atravessa toda a base em
e tem valor maior que as outras em parte do intervalo; a aresta que liga
a
vale em
; a aresta que liga
a
vale em
.
Para decidir quem é cima/baixo, comparo os valores:
No intervalo
comparo
com
.
- Por exemplo em
: e . Logo .
Assim, emtemos
No intervalo
comparo
com
.
- Em
: e . Logo .
Assim, emtemos
Portanto preciso dividir a integral em dois pedaços: de
a
e de
a
.
Passo 5
Escrevo a área como soma de duas integrais, usando a fórmula do Passo 2 e as funções do Passo 4:
Simplifico os integrandos:
- Para
:
- Para
:
Então
Passo 6
Faço as integrais usando antiderivadas básicas (lembrete:
e
; para polinômios integra-se termo a termo).
Primeira integral:
Passo 7
Segunda integral:
Avalio a primitiva nos limites:
- Em
:
- Em
:
Diferença:
Passo 8
Somando as duas parcelas:
Interpretação final rápida: a área do triângulo calculada por somar as fatias verticais deu
, ou seja
.
Força aí — você já pode repetir esse procedimento em outros triângulos: achar retas laterais, identificar top/bottom por intervalo em
, montar integrais e calcular.