Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
Eixo- x, x=1, y=x^{n}, n \geq 1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por três curvas/retas: o eixo- x (ou seja y=0), a reta vertical x=1 e a curva y=x^{n} com n\ge 1.
Informações importantes fornecidas:
  • A curva é y=x^{n} com n\ge 1.
  • A reta vertical é x=1.
  • O eixo é y=0.
    Observação sobre os pontos de interseção (informação que o enunciado fornece indiretamente): y=x^{n} corta o eixo- x em x=0 (porque 0^{n}=0) e passa por x=1 com y=1. Logo a região fechada fica no intervalo x\in[0,1].

Passo 2

Escolher a ideia para calcular a área: usar a integral definida que dá a área entre uma curva não negativa e o eixo- x.
Princípio usado (explicando com calma): se f é contínua e f(x)\ge 0 em [a,b], então a área entre a curva y=f(x), o eixo- x e as retas verticais x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui f(x)=x^{n} é contínua e não negativa em [0,1], portanto a área pedida é
\text{Área}=\int_{0}^{1} x^{n}\,dx.Á

Passo 3

Lembrando a regra para integrar potências (a “regra da potência” para primitiva): para qualquer número real m\neq -1,
\int x^{m}\,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C,
porque ao derivar \dfrac{x^{m+1}}{m+1} obtém-se x^{m}. Aqui m=n e como n\ge 1 temos n\neq-1, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Aplicando a primitiva ao cálculo da integral definida:
\int_{0}^{1} x^{n}\,dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}.
Explicando a notação: \left[F(x)\right]_{0}^{1}=F(1)-F(0), onde F é uma primitiva de x^{n}.

Passo 5

Avaliar os limites:
\frac{1^{\,n+1}}{n+1}-\frac{0^{\,n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}-0=\frac{1}{n+1}.
Portanto a área é \dfrac{1}{n+1}.

Passo 6

Algumas observações intuitivas e exemplos rápidos para fixar:
  • Para n=1 (reta y=x) a área é \dfrac{1}{2}.
  • Para n=2 (parábola y=x^{2}) a área é \dfrac{1}{3}.
  • À medida que n cresce, a curva fica mais “achatada” perto de x=0 e a área entre 0 e 1 diminui; de fato \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=0.
    Dica de prova: em prova, identifique o intervalo de integração (aqui [0,1]), escreva a integral \int_{0}^{1} x^{n}\,dx e aplique a regra da potência — é o caminho mais rápido.

Resposta

\dfrac{1}{n+1}

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