Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
Eixo-
Eixo-
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada por três curvas/retas: o eixo-
(ou seja
), a reta vertical
e a curva
com
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A curva é
com . - A reta vertical é
. - O eixo é
.
Observação sobre os pontos de interseção (informação que o enunciado fornece indiretamente):corta o eixo- em (porque ) e passa por com . Logo a região fechada fica no intervalo .
Passo 2
Escolher a ideia para calcular a área: usar a integral definida que dá a área entre uma curva não negativa e o eixo-
.
Princípio usado (explicando com calma): se é contínua e
em
, então a área entre a curva
, o eixo-
e as retas verticais
e
é
Princípio usado (explicando com calma): se
Aqui
é contínua e não negativa em
, portanto a área pedida é
Passo 3
Lembrando a regra para integrar potências (a “regra da potência” para primitiva): para qualquer número real
,
porque ao derivar
obtém-se
. Aqui
e como
temos
, então podemos aplicar a regra.
Passo 4
Aplicando a primitiva ao cálculo da integral definida:
Explicando a notação:
, onde
é uma primitiva de
.
Passo 5
Avaliar os limites:
Portanto a área é
.
Passo 6
Algumas observações intuitivas e exemplos rápidos para fixar:
- Para
(reta ) a área é . - Para
(parábola ) a área é . - À medida que
cresce, a curva fica mais “achatada” perto de e a área entre e diminui; de fato .
Dica de prova: em prova, identifique o intervalo de integração (aqui), escreva a integral e aplique a regra da potência — é o caminho mais rápido.