Exercício 12. Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f (se existirem) no intervalo dado:
f(x)=\ln (x)-x no intervalo (0, \infty)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximos e mínimos absolutos, se existirem, da função f no intervalo dado. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x)=\ln(x)-x.
  • O intervalo é (0,\infty) (ou seja, todos os x>0; o intervalo é aberto e não tem extremos finitos como extremos do domínio).
  • Queremos saber se existem máximo absoluto (maior valor da função no intervalo) e mínimo absoluto (menor valor da função no intervalo), e onde ocorrem.

Passo 2

Como vamos proceder (motivo do método): para determinar extremos absolutos em um intervalo (especialmente aberto e/ou ilimitado) fazemos:
  • Procuramos pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe, porque aí podem ocorrer extremos locais.
  • Analisamos comportamento da função nas “bordas” do intervalo, que aqui são os limites quando x\to0^+ e quando x\to\infty, já que os extremos absolutos também podem ocorrer nesses limites (ou a função pode ser não limitada e então não ter mínimo).
    Vou usar derivadas porque f é diferenciável em (0,\infty) e esse é o caminho mais direto.

Passo 3

Calcular a derivada e achar pontos críticos.
  • Regra: a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} e a derivada de -x é -1.
  • Portanto,
f'(x)=\frac{1}{x}-1.
  • Pontos críticos: resolver f'(x)=0. Assim
\frac{1}{x}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
  • Verificação: a derivada existe para todo x>0, logo o único ponto crítico em (0,\infty) é x=1.

Passo 4

Determinar se x=1 é máximo ou mínimo (teste da segunda derivada e teste do sinal da derivada).
  • Segunda derivada: derivando f'(x)=\frac{1}{x}-1 obtemos
f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
  • Observação: para todo x>0 temos f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0. Em particular, f''(1)=-1<0.
  • Regra (segundo derivada): se f''(x_0)<0 então f é côncava para baixo em x_0 e x_0 é um máximo local.
  • Alternativa intuitiva (teste do sinal de f'): para 0<x<1 temos \dfrac{1}{x}>1 então f'(x)>0 (função crescente até 1); para x>1 temos \dfrac{1}{x}<1 então f'(x)<0 (função decrescente depois de 1). Isso confirma que x=1 é um ponto de máximo (aumenta antes, diminui depois).

Passo 5

Calcular o valor da função em x=1.
f(1)=\ln(1)-1=0-1=-1.
Portanto f(1)=-1 é o valor do máximo local (e candidato a máximo absoluto).

Passo 6

Analisar o comportamento nos “extremos” do intervalo: limite quando x\to0^+.
  • Sabemos que \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty e \lim_{x\to0^+}(-x)=0. Assim
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(\ln(x)-x)=-\infty.
Isto significa que a função vai a -\infty perto de zero; não há um valor mínimo finite vindo desse lado.

Passo 7

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
  • Uma maneira rigorosa é notar que \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 (pelo regra de L’Hôpital ou comparando crescimentos: x cresce muito mais rápido que \ln x). Usando isso,
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}(\ln x - x)=\lim_{x\to\infty} x\!\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)=\lim_{x\to\infty} x(0-1)=-\infty.
  • Conclusão: também quando x\to\infty a função tende a -\infty. Logo não existe mínimo absoluto finito vindo desse lado.

Passo 8

Conclusão sobre extremos absolutos:
  • Há um único ponto crítico x=1, que é um máximo local e cujo valor é f(1)=-1.
  • Como \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty e \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty, a função não atinge nenhum valor menor que -\infty (óbvio) e não possui mínimo absoluto finito: a função é não limitada inferiormente.
  • Portanto o máximo local em x=1 é, na verdade, também o máximo absoluto, porque todos os outros valores da função são menores ou tendem a -\infty.

Resposta

Máximo absoluto: f(1)=-1 em x=1.
Mínimo absoluto: não existe (a função não é limitada inferiormente; \inf f(x)=-\infty).

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