Exercício 12. Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f (se existirem) no intervalo dado:
no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximos e mínimos absolutos, se existirem, da função
no intervalo dado. As informações fornecidas são:
- A função é
. - O intervalo é
(ou seja, todos os ; o intervalo é aberto e não tem extremos finitos como extremos do domínio). - Queremos saber se existem máximo absoluto (maior valor da função no intervalo) e mínimo absoluto (menor valor da função no intervalo), e onde ocorrem.
Passo 2
Como vamos proceder (motivo do método): para determinar extremos absolutos em um intervalo (especialmente aberto e/ou ilimitado) fazemos:
- Procuramos pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe, porque aí podem ocorrer extremos locais.
- Analisamos comportamento da função nas “bordas” do intervalo, que aqui são os limites quando
e quando , já que os extremos absolutos também podem ocorrer nesses limites (ou a função pode ser não limitada e então não ter mínimo).
Vou usar derivadas porqueé diferenciável em e esse é o caminho mais direto.
Passo 3
Calcular a derivada e achar pontos críticos.
- Regra: a derivada de
é e a derivada de é . - Portanto,
- Pontos críticos: resolver
. Assim
- Verificação: a derivada existe para todo
, logo o único ponto crítico em é .
Passo 4
Determinar se
é máximo ou mínimo (teste da segunda derivada e teste do sinal da derivada).
- Segunda derivada: derivando
obtemos
- Observação: para todo
temos . Em particular, . - Regra (segundo derivada): se
então é côncava para baixo em e é um máximo local. - Alternativa intuitiva (teste do sinal de
): para temos então (função crescente até 1); para temos então (função decrescente depois de 1). Isso confirma que é um ponto de máximo (aumenta antes, diminui depois).
Passo 5
Calcular o valor da função em
.
Portanto
é o valor do máximo local (e candidato a máximo absoluto).
Passo 6
Analisar o comportamento nos “extremos” do intervalo: limite quando
.
- Sabemos que
e . Assim
Isto significa que a função vai a
perto de zero; não há um valor mínimo finite vindo desse lado.
Passo 7
Analisar o comportamento quando
.
- Uma maneira rigorosa é notar que
(pelo regra de L’Hôpital ou comparando crescimentos: cresce muito mais rápido que ). Usando isso,
- Conclusão: também quando
a função tende a . Logo não existe mínimo absoluto finito vindo desse lado.
Passo 8
Conclusão sobre extremos absolutos:
- Há um único ponto crítico
, que é um máximo local e cujo valor é . - Como
e , a função não atinge nenhum valor menor que (óbvio) e não possui mínimo absoluto finito: a função é não limitada inferiormente. - Portanto o máximo local em
é, na verdade, também o máximo absoluto, porque todos os outros valores da função são menores ou tendem a .
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: não existe (a função não é limitada inferiormente; ).
Mínimo absoluto: não existe (a função não é limitada inferiormente;