Exercício 5. Determinar os intervalos de concavidade das funções e encontrar os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar os intervalos em que a função é côncava para cima e côncava para baixo e encontrar os pontos de inflexão da função
Informações dadas que vamos usar:
A partir disso precisamos:
- Calcular as derivadas necessárias (até a segunda) para estudar concavidade.
- Encontrar onde a segunda derivada é zero ou indefinida e testar mudança de sinal para identificar pontos de inflexão.
- Determinar os intervalos em que
(côncava para cima) e (côncava para baixo).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
passo a passo, explicando a regra usada. Temos
. Para derivar a parte
usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
. Portanto,
Multiplicando pelo factor
que está na frente:
A derivada de
é
. Somando as duas partes obtemos
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica
. Assim
. Logo uma forma mais compacta é
Passo 3
Agora derivamos
para obter
, que é a informação chave para concavidade. A derivada de
:
- Derivada de
é (regra da cadeia: derivada de é , aqui e ). - Multiplicando por
dá .
A derivada de
é
. Portanto
Podemos também escrever de forma fatorada:
Explicação didática: a segunda derivada mede a curvatura local. Se
a curva está “virada para cima” (côncava para cima); se
está “virada para baixo” (côncava para baixo).
Passo 4
Procuramos onde
porque esses pontos são candidatos a pontos de inflexão (desde que haja troca de sinal). Resolva
Isolando
:
A equação
tem soluções básicas
e
(no intervalo
). Tomando
obtemos as soluções gerais
Dividindo por
:
Como nosso domínio é
, os valores de
que caem nesse intervalo são
Passo 5
Agora fazemos a análise do sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos onde
. Os intervalos em
são:
Escolhemos pontos teste fáceis:
- Em
: . Então
Logo em
temos
(côncava para baixo).
- Em
(que está no intervalo ): . Então
Logo em
temos
(côncava para cima).
- Em
: . Então
Logo em
temos
(côncava para baixo).
Conclusão dos intervalos de concavidade:
- Côncava para baixo em
e em . - Côncava para cima em
.
(observação: nos pontos exatos
e
a segunda derivada é zero; a concavidade é definida por intervalos, normalmente citamos intervalos abertos entre os pontos críticos).
Passo 6
Identificamos os pontos de inflexão: são os pontos onde
e há mudança de sinal de
. Já vimos que em
a segunda derivada passa de negativa para positiva e em
passa de positiva para negativa. Portanto ambos são pontos de inflexão. Calculamos as ordenadas
nesses pontos.
Calcule
. Sabemos
, então
. Assim
Calcule
. Sabemos
, então
também. Assim
Portanto os pontos de inflexão são
Resposta
Côncava para baixo em
e em
Côncava para cima em
Pontos de inflexão: e
Côncava para cima em
Pontos de inflexão: