Exercício 5. Determinar os intervalos de concavidade das funções e encontrar os pontos de inflexão.
f(x)=2 \cos ^{2}(x)-x^{2}, x \in[0, \pi]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar os intervalos em que a função é côncava para cima e côncava para baixo e encontrar os pontos de inflexão da função
f(x)=2\cos^{2}(x)-x^{2},\qquad x\in[0,\pi].
Informações dadas que vamos usar:
\text{função }f(x)=2\cos^{2}(x)-x^{2}\quad\text{definida em}\quad[0,\pi].çã
A partir disso precisamos:
  1. Calcular as derivadas necessárias (até a segunda) para estudar concavidade.
  2. Encontrar onde a segunda derivada é zero ou indefinida e testar mudança de sinal para identificar pontos de inflexão.
  3. Determinar os intervalos em que f''(x)>0 (côncava para cima) e f''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) passo a passo, explicando a regra usada. Temos f(x)=2\big(\cos x\big)^{2}-x^{2}. Para derivar a parte 2(\cos x)^2 usamos a regra da cadeia: se g(x)=(u(x))^{2} então g'(x)=2u(x)u'(x). Aqui u(x)=\cos x e u'(x)=-\sin x. Portanto,
\frac{d}{dx}\big((\cos x)^2\big)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x.
Multiplicando pelo factor 2 que está na frente:
\frac{d}{dx}\big(2\cos^{2}x\big)=2\cdot(-2\cos x\sin x)=-4\cos x\sin x.
A derivada de -x^{2} é -2x. Somando as duas partes obtemos
f'(x)=-4\cos x\sin x - 2x.
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica 2\sin x\cos x=\sin 2x. Assim -4\cos x\sin x = -2\sin 2x. Logo uma forma mais compacta é
f'(x)=-2\sin 2x - 2x = -2\big(\sin 2x + x\big).

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x), que é a informação chave para concavidade. A derivada de -2\sin 2x:
  • Derivada de \sin 2x é (\sin 2x)'=2\cos 2x (regra da cadeia: derivada de \sin u é \cos u\cdot u', aqui u=2x e u'=2).
  • Multiplicando por -2 -2\cdot 2\cos 2x = -4\cos 2x.
A derivada de -2x é -2. Portanto
f''(x)=-4\cos 2x - 2.
Podemos também escrever de forma fatorada:
f''(x)=-2\big(2\cos 2x + 1\big).
Explicação didática: a segunda derivada mede a curvatura local. Se f''(x)>0 a curva está “virada para cima” (côncava para cima); se f''(x)<0 está “virada para baixo” (côncava para baixo).

Passo 4

Procuramos onde f''(x)=0 porque esses pontos são candidatos a pontos de inflexão (desde que haja troca de sinal). Resolva
-4\cos 2x - 2 = 0.
Isolando \cos 2x:
-4\cos 2x = 2 \quad\Rightarrow\quad \cos 2x = -\tfrac{1}{2}.
A equação \cos \theta = -\tfrac{1}{2} tem soluções básicas \theta = \tfrac{2\pi}{3} e \theta = \tfrac{4\pi}{3} (no intervalo [0,2\pi)). Tomando \theta=2x obtemos as soluções gerais
2x = \tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad 2x = \tfrac{4\pi}{3} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2:
x = \tfrac{\pi}{3} + k\pi \quad\text{ou}\quad x = \tfrac{2\pi}{3} + k\pi.
Como nosso domínio é [0,\pi], os valores de x que caem nesse intervalo são
x=\tfrac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

Agora fazemos a análise do sinal de f''(x) nos intervalos determinados pelos pontos onde f''(x)=0. Os intervalos em [0,\pi] são:
[0,\tfrac{\pi}{3}),\quad (\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}),\quad (\tfrac{2\pi}{3},\pi].
Escolhemos pontos teste fáceis:
  • Em x=0: \cos 2x=\cos 0=1. Então
f''(0)=-4\cdot 1 -2 = -6 <0.
Logo em [0,\tfrac{\pi}{3}) temos f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Em x=\tfrac{\pi}{2} (que está no intervalo (\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3})): \cos 2x=\cos\pi=-1. Então
f''\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=-4\cdot(-1)-2 = 4-2 = 2 >0.
Logo em (\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}) temos f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Em x=\pi: \cos 2x=\cos 2\pi=1. Então
f''(\pi)=-4\cdot 1 -2 = -6 <0.
Logo em (\tfrac{2\pi}{3},\pi] temos f''(x)<0 (côncava para baixo).
Conclusão dos intervalos de concavidade:
  • Côncava para baixo em [0,\tfrac{\pi}{3}) e em (\tfrac{2\pi}{3},\pi].
  • Côncava para cima em (\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}).
(observação: nos pontos exatos x=\tfrac{\pi}{3} e x=\tfrac{2\pi}{3} a segunda derivada é zero; a concavidade é definida por intervalos, normalmente citamos intervalos abertos entre os pontos críticos).

Passo 6

Identificamos os pontos de inflexão: são os pontos onde f''(x)=0 e há mudança de sinal de f''. Já vimos que em x=\tfrac{\pi}{3} a segunda derivada passa de negativa para positiva e em x=\tfrac{2\pi}{3} passa de positiva para negativa. Portanto ambos são pontos de inflexão. Calculamos as ordenadas f(x) nesses pontos.
Calcule f\big(\tfrac{\pi}{3}\big). Sabemos \cos\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}, então \cos^{2}\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{4}. Assim
f\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=2\cdot\tfrac{1}{4}-\big(\tfrac{\pi}{3}\big)^{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi^{2}}{9}.
Calcule f\big(\tfrac{2\pi}{3}\big). Sabemos \cos\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=-\tfrac{1}{2}, então \cos^{2}\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{4} também. Assim
f\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=2\cdot\tfrac{1}{4}-\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)^{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{4\pi^{2}}{9}.
Portanto os pontos de inflexão são
\Big(\tfrac{\pi}{3},\;\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi^{2}}{9}\Big)\quad\text{e}\quad \Big(\tfrac{2\pi}{3},\;\tfrac{1}{2}-\tfrac{4\pi^{2}}{9}\Big).

Resposta

Côncava para baixo em [0,\tfrac{\pi}{3}) e em (\tfrac{2\pi}{3},\pi]
Côncava para cima em (\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3})
Pontos de inflexão: \big(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi^{2}}{9}\big) e \big(\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{1}{2}-\tfrac{4\pi^{2}}{9}\big)

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