EXERCÍCIO 12
O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de
e
. Use o círculo de Mohr para determinar
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano
.
(a) as deformações principais no plano e
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano
Passo 1
O enunciado dá o estado de deformação no ponto da barra e pede as deformações principais no plano e que se especifique a orientação do elemento e se mostre como as deformações deformam o elemento no plano
-
.
Dados fornecidos:
-
. -
. -
(aqui é a deformação de engenharia, isto é, a soma das mudanças de ângulo no canto; o componente tensorial de cizalhamento será ).
Perguntas que serão respondidas:
- Quais são as deformações principais
e no plano? - Qual a orientação (ângulo) do sistema principal em relação ao eixo
? - Como o elemento se deforma, tanto na orientação
- quanto alinhado com os eixos principais (descrição do efeito dos termos normais e do cisalhamento)?
Passo 2
Conceito e fórmulas (aula rápida e prática sobre o círculo de Mohr para deformações)
- O estado plano de deformação é representado pela matriz (tensor) de pequenas deformações:
onde
é o componente de cizalhamento no tensor (metade da deformação de engenharia).
-
O círculo de Mohr para deformações transforma esse par
em uma construção geométrica cuja abscissa é a deformação normal e a ordenada é a deformação de engenharia de cisalhamento (no círculo usa-se no eixo horizontal e no vertical). -
Fórmulas importantes (usadas para calcular as deformações principais e o ângulo):
- Centro do círculo:
- Raio do círculo:
- Deformações principais:
ondeé a maior (tensão/alongamento maior) e a menor. - Orientação dos eixos principais em relação ao eixo
: o ângulo (medido do eixo até a direção do eixo principal associado a ) satisfaz
- Observações de interpretação física:
- Se
ocorre alongamento; se ocorre contração. - Em um elemento orientado segundo os eixos principais não há deformação de cisalhamento (ou seja, o termo de cisalhamento é zero) — só há deformações normais
e .]
- Se
Passo 3
Calcular os parâmetros do círculo de Mohr com os dados numéricos (mostrar contas passo a passo)
- Primeiro o componente de cizalhamento do tensor:
- Centro do círculo:
- Diferença meia e termo de cizalhamento para o raio:
- Raio:
Passo 4
Calcular as deformações principais numéricas (usar os resultados do passo anterior)
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais em micrônima unidade):
Verificação rápida:
, como esperado.
Passo 5
Calcular a orientação dos eixos principais (ângulo
em relação ao eixo
)
Usar a fórmula
Substituindo:
Portanto
Calcule o ângulo (em graus é mais intuitivo):
Arredondando:
Interpretação do sinal: o ângulo negativo indica que o eixo principal correspondente a
está rotacionado cerca de
no sentido horário a partir do eixo
. O outro eixo principal (associado a
) está a
desse, ou seja aproximadamente
a partir do eixo
(ou
).
Passo 6
Interpretação física — como as deformações deformam o elemento no plano
-
-
Efeito nas direções
e originais: -
indica que uma barra elementar inicialmente ao longo do eixo alonga-se de vezes o comprimento (ou seja, de alongamento). -
indica que uma barra ao longo do eixo encolhe vezes o comprimento (ou seja, de contração). -
causa uma distorção angular do elemento: um ângulo reto inicial entre eixos e muda aproximadamente em rad (a soma das duas variações angulares nos cantos), provocando um leve “cisalhamento” que tende a girar as faces no sentido horário (sinal negativo).
-
-
Efeito nas direções principais (orientadas a
e ): - Nessas direções não há deformação de cisalhamento (por definição dos eixos principais). O elemento sofre:
- alongamento principal
na direção (ou seja, um alongamento de aproximadamente ), - contração
na direção ortogonal (aprox. de encurtamento).
- alongamento principal
- Visualmente: um pequeno quadrado infinitesimal inicialmente alinhado com
- vai, após deformação, tornar-se aproximadamente um retângulo alongado na direção (um pouco girado em relação ao ), sem angulação interna (porque nos eixos principais o cizalhamento é zero).
- Nessas direções não há deformação de cisalhamento (por definição dos eixos principais). O elemento sofre:
-
Resumo prático de como desenhar mentalmente (ou rabiscar na prova):
- Desenhar um quadrado pequeno alinhado com
- . Mostra-se que a face horizontal alonga (porque ) e a vertical encolhe (porque ). Além disso, o canto é deslocado ligeiramente indicando cisalhamento no sentido horário (por ). - Desenhar um segundo quadrado com eixos rotacionados
(ou seja, girado pouco sentido horário). Nesse sistema, o quadrado se transforma em retângulo sem cisalhamento: alonga ao longo do eixo em e encolhe ao longo do eixo perpendicular em .
- Desenhar um quadrado pequeno alinhado com