EXERCÍCIO 12
O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de \varepsilon_{x}=180 \times 10^{-6}, \varepsilon_{y}=-120 \times 10^{-6} e \gamma_{x y}=-100 \times 10^{-6}. Use o círculo de Mohr para determinar
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano \mathrm{x}-\mathrm{y}.
(a) as deformações principais no plano e

Passo 1

O enunciado dá o estado de deformação no ponto da barra e pede as deformações principais no plano e que se especifique a orientação do elemento e se mostre como as deformações deformam o elemento no plano x- y.
Dados fornecidos:
  • \varepsilon_{x}=180\times10^{-6}.
  • \varepsilon_{y}=-120\times10^{-6}.
  • \gamma_{x y}=-100\times10^{-6} (aqui \gamma_{xy} é a deformação de engenharia, isto é, a soma das mudanças de ângulo no canto; o componente tensorial de cizalhamento será \varepsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2).
Perguntas que serão respondidas:
  • Quais são as deformações principais \varepsilon_1 e \varepsilon_2 no plano?
  • Qual a orientação (ângulo) do sistema principal em relação ao eixo x?
  • Como o elemento se deforma, tanto na orientação x- y quanto alinhado com os eixos principais (descrição do efeito dos termos normais e do cisalhamento)?

Passo 2

Conceito e fórmulas (aula rápida e prática sobre o círculo de Mohr para deformações)
  • O estado plano de deformação é representado pela matriz (tensor) de pequenas deformações:
\begin{pmatrix} \varepsilon_x & \varepsilon_{xy}\\[4pt] \varepsilon_{xy} & \varepsilon_y \end{pmatrix},
onde \varepsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2} é o componente de cizalhamento no tensor (metade da deformação de engenharia).
  • O círculo de Mohr para deformações transforma esse par (\varepsilon_x,\varepsilon_y,\gamma_{xy}) em uma construção geométrica cuja abscissa é a deformação normal \varepsilon e a ordenada é a deformação de engenharia de cisalhamento \gamma/2 (no círculo usa-se \varepsilon no eixo horizontal e \gamma/2 no vertical).
  • Fórmulas importantes (usadas para calcular as deformações principais e o ângulo):
    • Centro do círculo:
    \varepsilon_\text{m}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}.
    • Raio do círculo:
    R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
    • Deformações principais:
    \varepsilon_{1,2}=\varepsilon_\text{m}\pm R,
    onde \varepsilon_1 é a maior (tensão/alongamento maior) e \varepsilon_2 a menor.
    • Orientação dos eixos principais em relação ao eixo x: o ângulo \theta_p (medido do eixo x até a direção do eixo principal associado a \varepsilon_1) satisfaz
    \tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
    • Observações de interpretação física:
      • Se \varepsilon>0 ocorre alongamento; se \varepsilon<0 ocorre contração.
      • Em um elemento orientado segundo os eixos principais não há deformação de cisalhamento (ou seja, o termo de cisalhamento é zero) — só há deformações normais \varepsilon_1 e \varepsilon_2.]

Passo 3

Calcular os parâmetros do círculo de Mohr com os dados numéricos (mostrar contas passo a passo)
  1. Primeiro o componente de cizalhamento do tensor:
\varepsilon_{xy}=\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-100\times10^{-6}}{2}=-50\times10^{-6}.
  1. Centro do círculo:
\varepsilon_\text{m}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{180\times10^{-6}+(-120\times10^{-6})}{2}=\frac{60\times10^{-6}}{2}=30\times10^{-6}.
  1. Diferença meia e termo de cizalhamento para o raio:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{180\times10^{-6}-(-120\times10^{-6})}{2}=\frac{300\times10^{-6}}{2}=150\times10^{-6}.
\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2=(150\times10^{-6})^2=22500\times10^{-12}.
\left(\varepsilon_{xy}\right)^2=(-50\times10^{-6})^2=2500\times10^{-12}.
  1. Raio:
R=\sqrt{22500\times10^{-12}+2500\times10^{-12}}=\sqrt{25000\times10^{-12}}=\sqrt{25000}\times10^{-6}.
\sqrt{25000}=158{,}113883\ldots\quad\Rightarrow\quad R\approx158{,}113883\times10^{-6}.

Passo 4

Calcular as deformações principais numéricas (usar os resultados do passo anterior)
\varepsilon_1=\varepsilon_\text{m}+R=30\times10^{-6}+158{,}113883\times10^{-6}=188{,}113883\times10^{-6}.
\varepsilon_2=\varepsilon_\text{m}-R=30\times10^{-6}-158{,}113883\times10^{-6}=-128{,}113883\times10^{-6}.
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais em micrônima unidade):
\varepsilon_1\approx188{,}11\times10^{-6},\qquad \varepsilon_2\approx-128{,}11\times10^{-6}.
Verificação rápida: \varepsilon_1+\varepsilon_2=60\times10^{-6}=\varepsilon_x+\varepsilon_y, como esperado.

Passo 5

Calcular a orientação dos eixos principais (ângulo \theta_p em relação ao eixo x)
Usar a fórmula
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Substituindo:
\tan(2\theta_p)=\frac{-100\times10^{-6}}{180\times10^{-6}-(-120\times10^{-6})}=\frac{-100}{300}=-\frac{1}{3}.
Portanto
2\theta_p=\arctan\!\left(-\frac{1}{3}\right).
Calcule o ângulo (em graus é mais intuitivo):
2\theta_p\approx-18{,}434948^\circ\quad\Rightarrow\quad \theta_p\approx\frac{-18{,}434948^\circ}{2}=-9{,}217474^\circ.
Arredondando:
\theta_p\approx-9{,}22^\circ.
Interpretação do sinal: o ângulo negativo indica que o eixo principal correspondente a \varepsilon_1 está rotacionado cerca de 9{,}22^\circ no sentido horário a partir do eixo x. O outro eixo principal (associado a \varepsilon_2) está a 90^\circ desse, ou seja aproximadamente 80{,}78^\circ a partir do eixo x (ou -9{,}22^\circ + 90^\circ).

Passo 6

Interpretação física — como as deformações deformam o elemento no plano x- y
  • Efeito nas direções x e y originais:
    • \varepsilon_x=180\times10^{-6} indica que uma barra elementar inicialmente ao longo do eixo x alonga-se de 180\times10^{-6} vezes o comprimento (ou seja, 0{,}018\% de alongamento).
    • \varepsilon_y=-120\times10^{-6} indica que uma barra ao longo do eixo y encolhe 120\times10^{-6} vezes o comprimento (ou seja, 0{,}012\% de contração).
    • \gamma_{xy}=-100\times10^{-6} causa uma distorção angular do elemento: um ângulo reto inicial entre eixos x e y muda aproximadamente em -100\times10^{-6} rad (a soma das duas variações angulares nos cantos), provocando um leve “cisalhamento” que tende a girar as faces no sentido horário (sinal negativo).
  • Efeito nas direções principais (orientadas a \theta_p e \theta_p+90^\circ):
    • Nessas direções não há deformação de cisalhamento (por definição dos eixos principais). O elemento sofre:
      • alongamento principal \varepsilon_1\approx188{,}11\times10^{-6} na direção \theta_p (ou seja, um alongamento de aproximadamente 0{,}018811\%),
      • contração \varepsilon_2\approx-128{,}11\times10^{-6} na direção ortogonal (aprox. 0{,}012811\% de encurtamento).
    • Visualmente: um pequeno quadrado infinitesimal inicialmente alinhado com x- y vai, após deformação, tornar-se aproximadamente um retângulo alongado na direção \theta_p (um pouco girado em relação ao x), sem angulação interna (porque nos eixos principais o cizalhamento é zero).
  • Resumo prático de como desenhar mentalmente (ou rabiscar na prova):
    1. Desenhar um quadrado pequeno alinhado com x- y. Mostra-se que a face horizontal alonga (porque \varepsilon_x>0) e a vertical encolhe (porque \varepsilon_y<0). Além disso, o canto é deslocado ligeiramente indicando cisalhamento no sentido horário (por \gamma_{xy}<0).
    2. Desenhar um segundo quadrado com eixos rotacionados -9{,}22^\circ (ou seja, girado pouco sentido horário). Nesse sistema, o quadrado se transforma em retângulo sem cisalhamento: alonga ao longo do eixo \theta_p em 188{,}11\times10^{-6} e encolhe ao longo do eixo perpendicular em -128{,}11\times10^{-6}.

Resposta

\varepsilon_1\approx188{,}11\times10^{-6} (direção principal \theta_p\approx-9{,}22^\circ em relação ao eixo x, sentido horário)\n
\varepsilon_2\approx-128{,}11\times10^{-6} (direção principal \theta_p+90^\circ\approx80{,}78^\circ em relação ao eixo x)

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