Exercício 12 O número de defeitos em um rolo de tecido de uma fábrica têxtil segue uma distribuição de Poisson com taxa
, em que a é a quantidade de metros quadrados do rolo.
Qual é a probabilidade de haver exatamente um defeito em 10 metros quadrados de tecido?
Qual é a probabilidade de haver exatamente um defeito em 10 metros quadrados de tecido?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informação: o número de defeitos em um rolo de tecido segue uma distribuição de Poisson com taxa
, onde é a área em metros quadrados do rolo. - Informação: queremos o caso com
metros quadrados. - Pergunta: qual é a probabilidade de haver exatamente um defeito em
metros quadrados de tecido?
Passo 2
Vamos aprender a fórmula da distribuição de Poisson (rápida aulinha).
- A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de contarmos um certo número de eventos (aqui: defeitos) que acontecem de forma independente e raramente, numa região/intervalo fixo.
- A fórmula é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos; -
é o número específico de eventos que nos interessa (aqui ); -
é a média (esperança) do número de eventos no intervalo considerado (a taxa), ou seja, o número médio esperado de defeitos na área considerada; -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente ; -
é o fatorial de (por exemplo, , , etc.).
Essa fórmula dá a probabilidade exata de ocorrerem exatamenteeventos.
Passo 3
Calcular
para
.
A relação dada é . Substituindo
obtemos:
A relação dada é
Portanto, para
metros quadrados, a média esperada de defeitos é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula da Poisson para
e
.
Substituindo na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Agora plugamos
:
Calcule passo a passo:
e
, então
Passo 5
Obter uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem aproximação).
Sabemos que . Então
Sabemos que
Logo, a probabilidade de exatamente um defeito em
metros quadrados é
, ou aproximadamente
(ou
).
Passo 6
Interpretação curta e motivação: com média
defeito por
m², a chance de aparecer exatamente um defeito é cerca de
. Isso é intuitivo: quando a média é
, as probabilidades de
,
e
defeitos são as mais relevantes — e
fica próximo de
(que é
também) — o que você pode checar depois se quiser praticar.