Exercício 12 O número de defeitos em um rolo de tecido de uma fábrica têxtil segue uma distribuição de Poisson com taxa lambda=0,1 \times a, em que a é a quantidade de metros quadrados do rolo.
Qual é a probabilidade de haver exatamente um defeito em 10 metros quadrados de tecido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação: o número de defeitos em um rolo de tecido segue uma distribuição de Poisson com taxa \lambda = 0,1 \times a, onde a é a área em metros quadrados do rolo.
  • Informação: queremos o caso com a = 10 metros quadrados.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de haver exatamente um defeito em 10 metros quadrados de tecido?

Passo 2

Vamos aprender a fórmula da distribuição de Poisson (rápida aulinha).
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de contarmos um certo número de eventos (aqui: defeitos) que acontecem de forma independente e raramente, numa região/intervalo fixo.
  • A fórmula é:
P(X=k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos;
  • k é o número específico de eventos que nos interessa (aqui k=1);
  • \lambda é a média (esperança) do número de eventos no intervalo considerado (a taxa), ou seja, o número médio esperado de defeitos na área considerada;
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828;
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 1! = 1, 2! = 2\cdot1=2, etc.).
    Essa fórmula dá a probabilidade exata de ocorrerem exatamente k eventos.

Passo 3

Calcular \lambda para a=10.
A relação dada é \lambda = 0,1 \times a. Substituindo a=\;10 obtemos:
\lambda = 0,1 \times 10 = 1.
Portanto, para 10 metros quadrados, a média esperada de defeitos é \lambda = 1.

Passo 4

Aplicar a fórmula da Poisson para k=1 e \lambda=1.
Substituindo na fórmula:
P(X=1) = \frac{\lambda^{1} e^{-\lambda}}{1!}.
Agora plugamos \lambda=1:
P(X=1) = \frac{1^{1} e^{-1}}{1!}.
Calcule passo a passo: 1^{1}=1 e 1! = 1, então
P(X=1) = e^{-1}.

Passo 5

Obter uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem aproximação).
Sabemos que e \approx 2,71828. Então
e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2,71828} \approx 0,3679.
Logo, a probabilidade de exatamente um defeito em 10 metros quadrados é e^{-1}, ou aproximadamente 0,3679 (ou 36{,}79\%).

Passo 6

Interpretação curta e motivação: com média \lambda=1 defeito por 10 m², a chance de aparecer exatamente um defeito é cerca de 36{,}8\%. Isso é intuitivo: quando a média é 1, as probabilidades de 0, 1 e 2 defeitos são as mais relevantes — e P(X=1) fica próximo de P(X=0) (que é e^{-1} também) — o que você pode checar depois se quiser praticar.

Resposta

P(X=1)=e^{-1}\approx0,3679

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